Il teorema di Naimark

Il teorema di Naimark è un fatto fondamentale riguardante le misurazioni. Afferma che ogni misurazione generale può essere implementata in modo semplice, che ricorda le rappresentazioni di Stinespring dei canali:

1. Il sistema da misurare viene prima combinato con un sistema di lavoro inizializzato, formando un sistema composto.
2. Sul sistema composto viene quindi eseguita un'operazione unitaria.
3. Infine, il sistema di lavoro viene misurato rispetto a una misurazione nella base standard, producendo il risultato della misurazione generale originale.

Enunciato e dimostrazione del teorema

Sia $\mathsf{X}$ un sistema e sia $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ una collezione di matrici semidefinite positive che soddisfano

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

cioè che descrivono una misurazione di $\mathsf{X}.$ Sia inoltre $\mathsf{Y}$ un sistema il cui insieme di stati classici è $\{0,\ldots,m-1\},$ che è l'insieme dei possibili risultati di questa misurazione.

Il teorema di Naimark afferma che esiste un'operazione unitaria $U$ sul sistema composto $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ tale che l'implementazione suggerita dalla figura seguente produce risultati di misurazione che concordano con la misurazione data $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ nel senso che le probabilità dei diversi possibili risultati di misurazione sono esattamente in accordo.

Per essere precisi, il sistema $\mathsf{X}$ parte da uno stato arbitrario $\rho$ mentre $\mathsf{Y}$ viene inizializzato allo stato $\vert 0\rangle.$ L'operazione unitaria $U$ viene applicata a $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ e poi il sistema $\mathsf{Y}$ viene misurato con una misurazione nella base standard, producendo un risultato $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Il sistema $\mathsf{X}$ è raffigurato come parte dell'output del circuito, ma per ora non ci occuperemo dello stato di $\mathsf{X}$ dopo che $U$ è stato eseguito, e possiamo immaginare che venga tracciato fuori. Ci interesseremo allo stato di $\mathsf{X}$ dopo che $U$ è stato eseguito più avanti nella lezione.

Un'implementazione di una misurazione in questo modo ricorda chiaramente una rappresentazione di Stinespring di un canale, e i fondamenti matematici sono simili. La differenza qui è che il sistema di lavoro viene misurato invece di essere tracciato fuori come nel caso di una rappresentazione di Stinespring.

Il fatto che ogni misurazione possa essere implementata in questo modo è abbastanza semplice da dimostrare, ma prima abbiamo bisogno di un fatto riguardante le matrici semidefinite positive.

Fatto

Supponi che $P$ sia una matrice semidefinita positiva $n \times n$. Esiste un'unica matrice semidefinita positiva $n\times n$ $Q$ per cui $Q^2 = P.$ Questa unica matrice semidefinita positiva è chiamata la radice quadrata di $P$ e si indica con $\sqrt{P}.$

Un modo per trovare la radice quadrata di una matrice semidefinita positiva è calcolare prima una decomposizione spettrale.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Poiché $P$ è semidefinita positiva, i suoi autovalori devono essere numeri reali non negativi, e sostituendoli con le loro radici quadrate otteniamo un'espressione per la radice quadrata di $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Con questo concetto a disposizione, siamo pronti a dimostrare il teorema di Naimark. Sotto l'ipotesi che $\mathsf{X}$ abbia $n$ stati classici, un'operazione unitaria $U$ sulla coppia $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ può essere rappresentata da una matrice $nm\times nm$, che possiamo vedere come una matrice a blocchi $m\times m$ i cui blocchi sono $n\times n.$ La chiave della dimostrazione è prendere $U$ come qualsiasi matrice unitaria che corrisponde al seguente schema.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Affinché sia possibile riempire i blocchi contrassegnati con un punto interrogativo in modo che $U$ sia unitaria, è necessario e sufficiente che le prime $n$ colonne, formate dai blocchi $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ siano ortonormali. Possiamo quindi usare il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt per riempire le colonne rimanenti, proprio come abbiamo visto nella lezione precedente.

Le prime $n$ colonne di $U$ possono essere espresse come vettori nel modo seguente, dove $c = 0,\ldots,n-1$ si riferisce al numero di colonna a partire da $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Possiamo calcolare il prodotto interno tra due qualsiasi di esse come segue.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Questo dimostra che queste colonne sono effettivamente ortonormali, quindi possiamo riempire le colonne rimanenti di $U$ in modo da garantire che l'intera matrice sia unitaria.

Resta da verificare che le probabilità dei risultati di misurazione per la simulazione siano coerenti con la misurazione originale. Per un dato stato iniziale $\rho$ di $\mathsf{X},$ la misurazione descritta dalla collezione $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ produce ciascun risultato $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ con probabilità $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Per ottenere le probabilità dei risultati per la simulazione, diamo prima il nome $\sigma$ allo stato di $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ dopo che $U$ è stato eseguito. Questo stato può essere espresso come segue.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

In modo equivalente, in forma di matrice a blocchi, abbiamo la seguente equazione.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Nota che le entrate di $U$ che cadono nei blocchi contrassegnati con un punto interrogativo non hanno alcuna influenza sul risultato, in virtù del fatto che stiamo coniugando una matrice della forma $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — quindi le entrate con punto interrogativo vengono sempre moltiplicate per le entrate nulle di $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ quando viene calcolato il prodotto tra matrici.

Ora possiamo analizzare cosa succede quando una misurazione nella base standard viene eseguita su $\mathsf{Y}.$ Le probabilità dei possibili risultati sono date dalle entrate diagonali dello stato ridotto $\sigma_{\mathsf{Y}}$ di $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

In particolare, usando la proprietà ciclica della traccia, vediamo che la probabilità di ottenere un dato risultato $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ è la seguente.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Questo corrisponde alla misurazione originale, stabilendo la correttezza della simulazione.

Misurazioni non distruttive

Finora nella lezione ci siamo occupati di misurazioni distruttive, in cui l'output consiste nel solo risultato classico della misurazione e non c'è alcuna specifica dello stato quantistico post-misurazione del sistema che è stato misurato.

Le misurazioni non distruttive, d'altro canto, fanno esattamente questo. In particolare, le misurazioni non distruttive descrivono non solo le probabilità dei risultati classici della misurazione, ma anche lo stato del sistema che è stato misurato condizionato a ciascun possibile risultato della misurazione. Nota che il termine non distruttivo si riferisce al sistema misurato ma non necessariamente al suo stato, che potrebbe cambiare significativamente a seguito della misurazione.

In generale, per una data misurazione distruttiva, ci saranno più (in realtà infinite) misurazioni non distruttive compatibili con la data misurazione distruttiva, nel senso che le probabilità dei risultati classici della misurazione coincidono esattamente con quelle della misurazione distruttiva. Quindi, non c'è un modo unico per definire lo stato quantistico post-misurazione di un sistema per una data misurazione.

È in realtà possibile generalizzare ulteriormente le misurazioni non distruttive, in modo che producano un risultato classico di misurazione insieme a un output di stato quantistico di un sistema che non è necessariamente lo stesso del sistema di input.

La nozione di misurazione non distruttiva è un'astrazione interessante e utile. Tuttavia, bisogna riconoscere che le misurazioni non distruttive possono sempre essere descritte come composizioni di canali e misurazioni distruttive — quindi, in un certo senso, la nozione di misurazione distruttiva è quella più fondamentale.

Dal teorema di Naimark

Considera la simulazione di una misurazione generale come nel teorema di Naimark. Un modo semplice per ottenere una misurazione non distruttiva da questa simulazione è rivelato dalla figura precedente, in cui il sistema $\mathsf{X}$ non viene tracciato fuori, ma fa parte dell'output. Questo produce sia un risultato classico di misurazione $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ sia uno stato quantistico post-misurazione di $\mathsf{X}.$

Descriviamo questi stati in termini matematici. Assumiamo che lo stato iniziale di $\mathsf{X}$ sia $\rho,$ cosicché dopo che il sistema inizializzato $\mathsf{Y}$ viene introdotto e $U$ viene eseguito, abbiamo che $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ si trova nello stato

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Le probabilità dei diversi risultati classici rimangono le stesse di prima — non possono cambiare a seguito della nostra decisione di ignorare o non ignorare $\mathsf{X}.$ Cioè, otteniamo ciascun $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ con probabilità $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Condizionato all'aver ottenuto un particolare risultato di misurazione $a,$ lo stato risultante di $\mathsf{X}$ è dato da questa espressione.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Un modo per vedere questo è rappresentare una misurazione nella base standard di $\mathsf{Y}$ tramite il canale completamente decoerente $\Delta_m,$ dove l'output del canale descrive i risultati classici della misurazione come matrici densità (diagonali). Un'espressione dello stato che otteniamo è la seguente.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Possiamo quindi scrivere questo stato come una combinazione convessa di stati prodotto,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

che è coerente con l'espressione che abbiamo ottenuto per lo stato di $\mathsf{X}$ condizionato a ciascun possibile risultato di misurazione.

Da una rappresentazione di Kraus

Esistono selezioni alternative per $U$ nel contesto del teorema di Naimark che producono le stesse probabilità dei risultati di misurazione ma danno stati di output di $\mathsf{X}$ completamente diversi.

Ad esempio, un'opzione è sostituire $U$ con $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U,$ dove $V$ è qualsiasi operazione unitaria su $\mathsf{X}.$ L'applicazione di $V$ a $\mathsf{X}$ commuta con la misurazione di $\mathsf{Y}$, quindi le probabilità dei risultati classici non cambiano, ma ora lo stato di $\mathsf{X}$ condizionato al risultato $a$ diventa

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Più in generale, potremmo sostituire $U$ con la matrice unitaria

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

per qualsiasi scelta di operazioni unitarie $V_0,\ldots,V_{m-1}$ su $\mathsf{X}.$ Anche in questo caso, le probabilità dei risultati classici rimangono invariate, ma ora lo stato di $\mathsf{X}$ condizionato al risultato $a$ diventa

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Un modo equivalente per esprimere questa libertà è collegato alle rappresentazioni di Kraus. Cioè, possiamo descrivere una misurazione non distruttiva con $m$ risultati di un sistema avente $n$ stati classici tramite una selezione di matrici di Kraus $n\times n$: $A_0,\ldots,A_{m-1}$ che soddisfano la tipica condizione per le matrici di Kraus.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Assumendo che lo stato iniziale di $\mathsf{X}$ sia $\rho,$ il risultato classico della misurazione è $a$ con probabilità

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

e condizionato al fatto che il risultato sia $a$, lo stato di $\mathsf{X}$ diventa

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Nota che questo equivale a scegliere l'operazione unitaria $U$ nel teorema di Naimark come segue.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Nella lezione precedente abbiamo osservato che le colonne formate dai blocchi $A_0,\ldots,A_{m-1}$ sono necessariamente ortogonali, in virtù della condizione $(1).$

Generalizzazioni

Esistono modi ancora più generali per formulare le misurazioni non distruttive rispetto a quelli che abbiamo discusso. La nozione di strumento quantistico (che non verrà descritta qui) rappresenta un modo per farlo.