Introduzione

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Nel corso "Fondamenti di informazione quantistica", abbiamo discusso un framework per l'informazione quantistica in cui gli stati quantistici sono rappresentati da vettori di stato quantistico, le operazioni sono rappresentate da matrici unitarie e così via. Abbiamo poi utilizzato questo framework nel corso "Fondamentali degli algoritmi quantistici" per descrivere e analizzare gli algoritmi quantistici.

In realtà esistono due descrizioni matematiche comuni dell'informazione quantistica, di cui quella introdotta in "Fondamenti di informazione quantistica" è la più semplice delle due. Per questo motivo la chiameremo formulazione semplificata dell'informazione quantistica.

In questa lezione inizieremo ad esplorare la seconda descrizione, ovvero la formulazione generale dell'informazione quantistica. Essa è, naturalmente, coerente con la formulazione semplificata, ma offre vantaggi notevoli. Ad esempio, può essere usata per descrivere l'incertezza negli stati quantistici e modellare gli effetti del rumore sui calcoli quantistici. Fornisce le basi per la teoria dell'informazione quantistica, la crittografia quantistica e altri argomenti connessi all'informazione quantistica, ed è anche piuttosto elegante dal punto di vista matematico.

Nella formulazione generale dell'informazione quantistica, gli stati quantistici non sono rappresentati da vettori come nella formulazione semplificata, bensì da una classe speciale di matrici chiamate matrici densità. Ecco alcuni punti chiave che motivano il loro utilizzo.

• Le matrici densità possono rappresentare una classe più ampia di stati quantistici rispetto ai vettori di stato quantistico. Questo include stati che emergono in contesti pratici, come gli stati di sistemi quantistici che sono stati sottoposti a rumore, nonché scelte casuali di stati quantistici.

• Le matrici densità ci permettono di descrivere gli stati di parti isolate di sistemi, come lo stato di un sistema che risulta essere entangled con un altro sistema che vogliamo ignorare. Questo non è facilmente realizzabile nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica.

• Gli stati classici (probabilistici) possono anch'essi essere rappresentati da matrici densità, in particolare quelle che sono diagonali. Questo è importante perché consente di descrivere insieme l'informazione quantistica e quella classica all'interno di un unico framework matematico, dove l'informazione classica è essenzialmente un caso speciale di quella quantistica.

A prima vista, può sembrare strano che gli stati quantistici siano rappresentati da matrici, le quali più tipicamente rappresentano azioni o operazioni, piuttosto che stati. Ad esempio, le matrici unitarie descrivono le operazioni quantistiche nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica, e le matrici stocastiche descrivono le operazioni probabilistiche nel contesto dell'informazione classica. Al contrario, sebbene le matrici densità siano effettivamente matrici, esse rappresentano stati — non azioni o operazioni.

Nonostante ciò, il fatto che le matrici densità possano (come tutte le matrici) essere associate a mappe lineari è un aspetto di fondamentale importanza. Ad esempio, gli autovalori delle matrici densità descrivono la casualità o l'incertezza insita negli stati che rappresentano.

Video della lezione

Nel video seguente, John Watrous ti accompagna attraverso i contenuti di questa lezione sulle matrici densità. In alternativa, puoi aprire il video YouTube di questa lezione in una finestra separata. Scarica le slide di questa lezione.