Sfera di Bloch

Esiste un utile modo geometrico per rappresentare gli stati di un qubit, noto come sfera di Bloch. È molto conveniente, ma purtroppo funziona solo per i qubit — la rappresentazione analoga non corrisponde più a un oggetto sferico non appena il sistema ha tre o più stati classici.

Gli stati del qubit come punti su una sfera

Partiamo da un vettore di stato quantistico di un qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Possiamo restringere la nostra attenzione ai vettori per cui $\alpha$ è un numero reale non negativo, poiché ogni vettore di stato di un qubit è equivalente, a meno di una fase globale, a uno per cui $\alpha \geq 0.$ Questo ci permette di scrivere

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

per due numeri reali $\theta \in [0,\pi]$ e $\phi\in[0,2\pi)$. Qui permettiamo a $\theta$ di variare da $0$ a $\pi$ e dividiamo per $2$ nell'argomento di seno e coseno perché questo è un modo convenzionale di parametrizzare vettori di questo tipo, e renderà le cose più semplici tra poco.

Ora, non è del tutto vero che i numeri $\theta$ e $\phi$ siano univocamente determinati da un dato vettore di stato quantistico $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$, ma è quasi così. In particolare, se $\beta = 0$, allora $\theta = 0$ e il valore di $\phi$ non fa differenza, quindi può essere scelto arbitrariamente. Analogamente, se $\alpha = 0$, allora $\theta = \pi$, e anche in questo caso $\phi$ è irrilevante (poiché il nostro stato è equivalente a $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ per qualsiasi $\phi$ a meno di una fase globale). Se, invece, né $\alpha$ né $\beta$ è zero, allora esiste un'unica scelta per la coppia $(\theta,\phi)$ per cui $\vert\psi\rangle$ è equivalente a $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ a meno di una fase globale.

Consideriamo ora la rappresentazione tramite matrice di densità di questo stato.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Possiamo usare alcune identità trigonometriche,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

nonché la formula $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$, per semplificare la matrice di densità come segue.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Questo rende facile esprimere questa matrice di densità come combinazione lineare delle matrici di Pauli:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Nello specifico, concludiamo che

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

I coefficienti di $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ e $\sigma_z$ al numeratore di questa espressione sono tutti numeri reali, quindi possiamo raccoglierli per formare un vettore in un ordinario spazio euclideo tridimensionale.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

In effetti, questo è un vettore unitario. Usando le coordinate sferiche può essere scritto come $(1,\theta,\phi).$ La prima coordinata, $1,$ rappresenta il raggio o distanza radiale (che in questo caso è sempre $1$), $\theta$ rappresenta l'angolo polare e $\phi$ rappresenta l'angolo azimutale.

In parole povere, pensando a una sfera come al pianeta Terra, l'angolo polare $\theta$ è quanto ci spostiamo verso sud dal polo nord per raggiungere il punto descritto, da $0$ a $\pi = 180^{\circ}$, mentre l'angolo azimutale $\phi$ è quanto ci spostiamo verso est dal meridiano di riferimento, da $0$ a $2\pi = 360^{\circ}$. Questo presuppone che definiamo il meridiano di riferimento come la curva sulla superficie della sfera che va da un polo all'altro passando per l'asse $x$ positivo.

Ogni punto sulla sfera può essere descritto in questo modo — il che significa che i punti che otteniamo variando su tutti i possibili stati puri di un qubit corrispondono esattamente a una sfera in $3$ dimensioni reali. (Questa sfera è tipicamente chiamata $2$-sfera unitaria perché la sua superficie è bidimensionale.)

Quando associamo i punti sulla $2$-sfera unitaria agli stati puri dei qubit, otteniamo la rappresentazione sfera di Bloch di questi stati.

Sei esempi importanti

1. La base standard $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$. Iniziamo con lo stato $\vert 0\rangle$. Come matrice di densità può essere scritta così.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Raccogliendo i coefficienti delle matrici di Pauli al numeratore, vediamo che il punto corrispondente sulla $2$-sfera unitaria in coordinate cartesiane è $(0,0,1)$. In coordinate sferiche questo punto è $(1,0,\phi)$, dove $\phi$ può essere qualsiasi angolo. Ciò è coerente con l'espressione

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   che funziona anch'essa per qualsiasi $\phi$. Intuitivamente, l'angolo polare $\theta$ è zero, quindi ci troviamo al polo nord della sfera di Bloch, dove l'angolo azimutale è irrilevante.

   In modo analogo, la matrice di densità per lo stato $\vert 1\rangle$ può essere scritta così.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   In questo caso le coordinate cartesiane sono $(0,0,-1)$. In coordinate sferiche questo punto è $(1,\pi,\phi)$ dove $\phi$ può essere qualsiasi angolo. Qui l'angolo polare è arrivato fino a $\pi$, quindi ci troviamo al polo sud dove l'angolo azimutale è di nuovo irrilevante.

2. La base $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$. Abbiamo queste espressioni per le matrici di densità corrispondenti a questi stati.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   I punti corrispondenti sulla $2$-sfera unitaria hanno coordinate cartesiane $(1,0,0)$ e $(-1,0,0)$, e coordinate sferiche $(1,\pi/2,0)$ e $(1,\pi/2,\pi)$, rispettivamente.

   In parole, $\vert +\rangle$ corrisponde al punto dove l'asse $x$ positivo interseca la $2$-sfera unitaria e $\vert -\rangle$ corrisponde al punto dove l'asse $x$ negativo la interseca. Più intuitivamente, $\vert +\rangle$ si trova sull'equatore della sfera di Bloch nel punto in cui incontra il meridiano di riferimento, e $\vert - \rangle$ si trova sull'equatore dal lato opposto della sfera.

3. La base $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}$. Come abbiamo visto in precedenza in questa lezione, questi due stati sono definiti così:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   In questo caso abbiamo queste espressioni.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   I punti corrispondenti sulla $2$-sfera unitaria hanno coordinate cartesiane $(0,1,0)$ e $(0,-1,0)$, e coordinate sferiche $(1,\pi/2,\pi/2)$ e $(1,\pi/2,3\pi/2)$, rispettivamente.

   In parole, $\vert {+i} \rangle$ corrisponde al punto dove l'asse $y$ positivo interseca la $2$-sfera unitaria e $\vert {-i} \rangle$ al punto dove l'asse $y$ negativo la interseca.

Ecco un'altra classe di vettori di stato quantistico che è apparsa di tanto in tanto nel corso di questa serie, inclusa in precedenza in questa lezione.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

La rappresentazione tramite matrice di densità di ciascuno di questi stati è la seguente.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

La figura seguente illustra i punti corrispondenti sulla sfera di Bloch per alcune scelte di $\alpha$.

Combinazioni convesse di punti

In modo analogo a quanto discusso per le matrici di densità, possiamo prendere combinazioni convesse di punti sulla sfera di Bloch per ottenere rappresentazioni di matrici di densità di qubit. In generale, ciò produce punti all'interno della sfera di Bloch, che rappresentano matrici di densità di stati che non sono puri. A volte ci riferiamo alla palla di Bloch quando vogliamo essere espliciti riguardo all'inclusione di punti all'interno della sfera di Bloch come rappresentazioni di matrici di densità di qubit.

Ad esempio, abbiamo visto che la matrice di densità $\frac{1}{2}\mathbb{I}$, che rappresenta lo stato completamente misto di un qubit, può essere scritta in questi due modi alternativi:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{e}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Abbiamo anche

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

e più in generale possiamo usare qualsiasi coppia di vettori di stato qubit ortogonali (che corrisponderanno sempre a due punti antipodalii sulla sfera di Bloch). Se facciamo la media dei punti corrispondenti sulla sfera di Bloch in modo analogo, otteniamo lo stesso punto, che in questo caso si trova al centro della sfera. Ciò è coerente con l'osservazione che

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

che ci dà le coordinate cartesiane $(0,0,0)$.

Un esempio diverso riguardante le combinazioni convesse di punti sulla sfera di Bloch è quello discusso nella sottosezione precedente.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

La figura seguente illustra questi due diversi modi di ottenere questa matrice di densità come combinazione convessa di stati puri.