Sistemi multipli e stati ridotti

Ora rivolgeremo la nostra attenzione a come funzionano le matrici densità per i sistemi multipli, inclusi esempi di diversi tipi di correlazioni che possono esprimere e come possono essere utilizzate per descrivere gli stati di parti isolate di sistemi composti.

Sistemi multipli

Le matrici densità possono rappresentare stati di sistemi multipli in modo analogo ai vettori di stato nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica, seguendo la stessa idea di base per cui i sistemi multipli possono essere visti come se fossero sistemi singoli e composti. In termini matematici, le righe e le colonne delle matrici densità che rappresentano stati di sistemi multipli sono messe in corrispondenza con il prodotto cartesiano degli insiemi di stati classici dei singoli sistemi.

Ad esempio, ricordiamo le rappresentazioni tramite vettore di stato dei quattro stati di Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Le rappresentazioni tramite matrice densità di questi stati sono le seguenti.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Stati prodotto

Analogamente a quanto visto per i vettori di stato, i prodotti tensoriali di matrici densità rappresentano l'indipendenza tra gli stati di sistemi multipli. Ad esempio, se $\mathsf{X}$ è preparato nello stato rappresentato dalla matrice densità $\rho$ e $\mathsf{Y}$ è preparato indipendentemente nello stato rappresentato da $\sigma,$ allora la matrice densità che descrive lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è il prodotto tensoriale $\rho\otimes\sigma.$

La stessa terminologia viene usata qui come nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica: gli stati di questa forma sono detti stati prodotto.

Stati correlati ed entangled

Gli stati che non possono essere espressi come stati prodotto rappresentano correlazioni tra i sistemi. Esistono, in effetti, diversi tipi di correlazioni che possono essere rappresentate dalle matrici densità. Ecco alcuni esempi.

1. Stati classici correlati. Ad esempio, possiamo esprimere la situazione in cui Alice e Bob condividono un bit casuale in questo modo:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ensemble di stati quantistici. Supponiamo di avere $m$ matrici densità $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ che rappresentano tutte stati di un sistema $\mathsf{X},$ e di scegliere casualmente uno di questi stati secondo un vettore di probabilità $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Tale processo è rappresentato da un ensemble di stati, che include la specifica delle matrici densità $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ nonché le probabilità $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Possiamo associare un ensemble di stati a una singola matrice densità, che descrive sia la scelta casuale di $k$ sia la corrispondente matrice densità $\rho_k,$ in questo modo:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Per essere precisi, questo è lo stato di una coppia $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ in cui $\mathsf{Y}$ rappresenta la selezione classica di $k$ — quindi si assume che il suo insieme di stati classici sia $\{0,\ldots,m-1\}.$ Gli stati di questa forma vengono talvolta chiamati stati classico-quantistici.

3. Stati separabili. Possiamo immaginare situazioni in cui abbiamo una correlazione classica tra gli stati quantistici di due sistemi, come questa:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   In parole, per ogni $k$ da $0$ a $m-1,$ abbiamo che con probabilità $p_k$ il sistema di sinistra si trova nello stato $\rho_k$ e il sistema di destra si trova nello stato $\sigma_k.$ Gli stati di questo tipo sono chiamati stati separabili. Questo concetto può essere esteso anche a più di due sistemi.

4. Stati entangled. Non tutti gli stati di coppie di sistemi sono separabili. Nella formulazione generale dell'informazione quantistica, è così che viene definito l'entanglement: gli stati che non sono separabili sono detti entangled.

   Si noti che questa terminologia è coerente con quella usata nel corso "Basi dell'informazione quantistica". Lì abbiamo detto che i vettori di stato quantistici che non sono stati prodotto rappresentano stati entangled — e in effetti, per qualsiasi vettore di stato quantistico $\vert\psi\rangle$ che non è uno stato prodotto, si verifica che lo stato rappresentato dalla matrice densità $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ non è separabile. L'entanglement è molto più complicato di così per gli stati che non sono puri.

Stati ridotti e traccia parziale

C'è una cosa semplice ma importante che possiamo fare con le matrici densità nel contesto dei sistemi multipli, ovvero descrivere gli stati che si ottengono ignorando alcuni dei sistemi. Quando più sistemi si trovano in uno stato quantistico e scartiamo o scegliamo di ignorare uno o più sistemi, lo stato dei sistemi rimanenti è chiamato stato ridotto di quei sistemi. Le descrizioni tramite matrice densità degli stati ridotti si ottengono facilmente attraverso una mappatura, nota come traccia parziale, a partire dalla matrice densità che descrive lo stato dell'intero sistema.

Esempio: stati ridotti per un e-bit

Supponiamo di avere una coppia di qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ che si trovano insieme nello stato

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Possiamo immaginare che Alice tenga il qubit $\mathsf{A}$ e Bob tenga $\mathsf{B},$ il che significa che insieme condividono un e-bit. Vorremmo avere una descrizione tramite matrice densità del qubit $\mathsf{A}$ di Alice in isolamento, come se Bob decidesse di prendere il suo qubit e partire per le stelle, per non essere mai più visto.

Prima pensiamo a cosa succederebbe se Bob decidesse, da qualche parte del suo viaggio, di misurare il suo qubit con una misura nella base standard. Se lo facesse, otterrebbe il risultato $0$ con probabilità

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

nel qual caso lo stato del qubit di Alice diventa $\vert 0\rangle;$ e otterrebbe il risultato $1$ con probabilità

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

nel qual caso lo stato del qubit di Alice diventa $\vert 1\rangle.$

Quindi, se ignoriamo il risultato della misura di Bob e ci concentriamo sul qubit di Alice, concludiamo che lei ottiene lo stato $\vert 0\rangle$ con probabilità $1/2$ e lo stato $\vert 1\rangle$ con probabilità $1/2.$ Questo ci porta a descrivere lo stato del qubit di Alice in isolamento con la matrice densità

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Ovvero, il qubit di Alice si trova nello stato completamente misto. Per essere precisi, questa descrizione dello stato del qubit di Alice non include il risultato della misura di Bob; stiamo ignorando Bob del tutto.

Ora, potrebbe sembrare che la descrizione tramite matrice densità del qubit di Alice in isolamento che abbiamo appena ottenuto si basi sull'ipotesi che Bob abbia misurato il suo qubit, ma non è effettivamente così. Quello che abbiamo fatto è usare la possibilità che Bob misuri il suo qubit per argomentare che lo stato completamente misto emerge come stato del qubit di Alice, sulla base di quanto già appreso. Naturalmente, niente impone che Bob debba misurare il suo qubit — ma niente dice nemmeno che non lo faccia. E se si trova ad anni luce di distanza, allora nulla di ciò che fa o non fa può influenzare lo stato del qubit di Alice visto in isolamento. Vale a dire, la descrizione che abbiamo ottenuto per lo stato del qubit di Alice è l'unica descrizione coerente con l'impossibilità della comunicazione più veloce della luce.

Possiamo anche considerare lo stato del qubit $\mathsf{B}$ di Bob, che risulta essere anch'esso lo stato completamente misto. In effetti, per tutti e quattro gli stati di Bell si trova che lo stato ridotto sia del qubit di Alice sia di quello di Bob è lo stato completamente misto.

Stati ridotti per un vettore di stato quantistico generale

Generalizziamo ora l'esempio appena discusso a due sistemi arbitrari $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B},$ non necessariamente qubit nello stato $\vert \phi^+\rangle.$ Assumeremo che gli insiemi di stati classici di $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ siano rispettivamente $\Sigma$ e $\Gamma.$ Una matrice densità $\rho$ che rappresenta uno stato del sistema combinato $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ha quindi indici di riga e di colonna corrispondenti al prodotto cartesiano $\Sigma\times\Gamma.$

Supponiamo che lo stato di $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ sia descritto dal vettore di stato quantistico $\vert\psi\rangle,$ quindi la matrice densità che descrive questo stato è $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Otterremo una descrizione tramite matrice densità dello stato di $\mathsf{A}$ in isolamento, convenzionalmente denotata $\rho_{\mathsf{A}}.$ (A volte viene usato un apice invece di un pedice.)

Il vettore di stato $\vert\psi\rangle$ può essere espresso nella forma

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

per una collezione di vettori $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ univocamente determinata. In particolare, questi vettori possono essere determinati tramite una formula semplice.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Ragionando in modo analogo all'esempio precedente dell'e-bit, se misurassimo il sistema $\mathsf{B}$ con una misura nella base standard, otterremmo ciascun risultato $b\in\Gamma$ con probabilità $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ nel qual caso lo stato di $\mathsf{A}$ diventa

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Come matrice densità, questo stato può essere scritto come segue.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Mediando i diversi stati in base alle probabilità dei rispettivi risultati, arriviamo alla matrice densità

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

La traccia parziale

La formula

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

ci porta alla descrizione dello stato ridotto di $\mathsf{A}$ per qualsiasi matrice densità $\rho$ della coppia $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ non solo per uno stato puro.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Questa formula deve valere, semplicemente per linearità insieme al fatto che ogni matrice densità può essere scritta come combinazione convessa di stati puri.

L'operazione eseguita su $\rho$ per ottenere $\rho_{\mathsf{A}}$ in questa equazione è nota come traccia parziale, e per essere più precisi diciamo che la traccia parziale viene eseguita su $\mathsf{B},$ ovvero che $\mathsf{B}$ viene tracciato fuori. Questa operazione è denotata $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ quindi possiamo scrivere

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Possiamo anche definire la traccia parziale su $\mathsf{A},$ cosicché è il sistema $\mathsf{A}$ a essere tracciato fuori anziché $\mathsf{B},$ come segue.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Questo ci fornisce la descrizione tramite matrice densità $\rho_{\mathsf{B}}$ dello stato di $\mathsf{B}$ in isolamento anziché di $\mathsf{A}.$

Per ricapitolare, se $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ è una qualsiasi coppia di sistemi e abbiamo una matrice densità $\rho$ che descrive uno stato di $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ gli stati ridotti dei sistemi $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ sono i seguenti.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Se $\rho$ è una matrice densità, allora anche $\rho_{\mathsf{A}}$ e $\rho_{\mathsf{B}}$ saranno necessariamente matrici densità.

Queste nozioni possono essere generalizzate in modo naturale a un numero qualsiasi di sistemi al posto di due. In generale, possiamo mettere i nomi dei sistemi che scegliamo nel pedice di una matrice densità $\rho$ per descrivere lo stato ridotto di soli quei sistemi. Ad esempio, se $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ e $\mathsf{C}$ sono sistemi e $\rho$ è una matrice densità che descrive uno stato di $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ allora possiamo definire

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

e analogamente per altre scelte dei sistemi.

Descrizione alternativa della traccia parziale

Un modo alternativo per descrivere le mappature della traccia parziale $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ e $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ è che esse sono le uniche mappature lineari che soddisfano le formule

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

In queste formule, $N$ e $M$ sono matrici quadrate delle dimensioni appropriate: le righe e le colonne di $M$ corrispondono agli stati classici di $\mathsf{A}$ e le righe e le colonne di $N$ corrispondono agli stati classici di $\mathsf{B}.$

Questa caratterizzazione della traccia parziale non è solo fondamentale dal punto di vista matematico, ma può anche consentire calcoli rapidi in alcune situazioni. Ad esempio, consideriamo questo stato di una coppia di qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Per calcolare lo stato ridotto $\rho_{\mathsf{A}},$ ad esempio, possiamo usare la linearità insieme al fatto che $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ e $\vert +\rangle\langle +\vert$ hanno traccia unitaria.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Lo stato ridotto $\rho_{\mathsf{B}}$ può essere calcolato in modo analogo.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

La traccia parziale per due qubit

La traccia parziale può anche essere descritta esplicitamente in termini di matrici. Qui lo faremo solo per due qubit, ma questo può essere generalizzato anche a sistemi più grandi. Supponiamo di avere due qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ così che qualsiasi matrice densità che descrive uno stato di questi due qubit possa essere scritta come

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

per una certa scelta di numeri complessi $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

La traccia parziale sul primo sistema ha la seguente formula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Un modo per interpretare questa formula inizia con il vedere le matrici $4\times 4$ come matrici a blocchi $2\times 2,$ in cui ogni blocco è $2\times 2.$ Ovvero,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

per

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Si ha quindi

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Ecco la formula quando è il secondo sistema a essere tracciato fuori anziché il primo.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

In termini di matrici a blocchi di una forma analoga a prima, abbiamo questa formula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Le descrizioni tramite matrici a blocchi di queste funzioni possono essere estese in modo naturale e diretto a sistemi più grandi dei qubit.

Per concludere la lezione, applichiamo queste formule allo stesso stato considerato in precedenza.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Lo stato ridotto del primo sistema $\mathsf{A}$ è

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

e lo stato ridotto del secondo sistema $\mathsf{B}$ è

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$