Nozioni di base sulle matrici densità

Inizieremo descrivendo cosa sono le matrici densità in termini matematici, poi daremo un'occhiata ad alcuni esempi. Dopodiché, discuteremo alcuni aspetti di base su come funzionano le matrici densità e come si relazionano ai vettori di stato quantistici nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica.

Definizione

Supponiamo di avere un sistema quantistico chiamato $\mathsf{X},$ e sia $\Sigma$ l'insieme degli stati classici (finito e non vuoto) di questo sistema. Qui stiamo seguendo le convenzioni di denominazione usate nel corso "Basics of quantum information", che continueremo ad applicare quando se ne presenterà l'occasione.

Nella formulazione generale dell'informazione quantistica, uno stato quantistico del sistema $\mathsf{X}$ è descritto da una matrice densità $\rho$ le cui voci sono numeri complessi e i cui indici (sia per le righe che per le colonne) sono stati messi in corrispondenza con l'insieme degli stati classici $\Sigma.$ La lettera greca minuscola $\rho$ è la prima scelta convenzionale per il nome di una matrice densità, sebbene $\sigma$ e $\xi$ siano anch'esse scelte comuni.

Ecco alcuni esempi di matrici densità che descrivono stati di qubit:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Dire che $\rho$ è una matrice densità significa che queste due condizioni, che saranno spiegate tra un momento, sono entrambe soddisfatte:

1. Traccia unitaria: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Semidefinitezza positiva: $\rho \geq 0.$

La traccia di una matrice

La prima condizione sulle matrici densità fa riferimento alla traccia di una matrice. Questa è una funzione definita, per tutte le matrici quadrate, come la somma degli elementi sulla diagonale principale:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

La traccia è una funzione lineare: per qualsiasi coppia di matrici quadrate $A$ e $B$ della stessa dimensione, e per qualsiasi coppia di numeri complessi $\alpha$ e $\beta,$ la seguente equazione è sempre vera.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

La traccia è una funzione estremamente importante e ci sarebbe molto altro da dire su di essa, ma aspetteremo che se ne presenti la necessità per approfondire.

Matrici semidefinite positive

La seconda condizione fa riferimento alla proprietà di una matrice di essere semidefinita positiva, un concetto fondamentale nella teoria dell'informazione quantistica e in molti altri ambiti. Una matrice $P$ è semidefinita positiva se esiste una matrice $M$ tale che

$$P = M^{\dagger} M.$$

Qui possiamo richiedere che $M$ sia una matrice quadrata della stessa dimensione di $P$ oppure permettere che sia non quadrata — in entrambi i casi otteniamo la stessa classe di matrici.

Esistono diversi modi alternativi (ma equivalenti) per definire questa condizione, tra cui:

• Una matrice $P$ è semidefinita positiva se e solo se $P$ è hermitiana (cioè uguale alla propria trasposta coniugata) e tutti i suoi autovalori sono numeri reali non negativi. Verificare che una matrice sia hermitiana e che tutti i suoi autovalori siano non negativi è un modo computazionale semplice per accertarsi che sia semidefinita positiva.

• Una matrice $P$ è semidefinita positiva se e solo se $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ per ogni vettore complesso $\vert\psi\rangle$ con gli stessi indici delle righe e delle colonne di $P.$

Un modo intuitivo per pensare alle matrici semidefinite positive è che sono analoghe matriciali dei numeri reali non negativi. Vale a dire, le matrici semidefinite positive stanno alle matrici quadrate complesse come i numeri reali non negativi stanno ai numeri complessi. Per esempio, un numero complesso $\alpha$ è un numero reale non negativo se e solo se

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

per qualche numero complesso $\beta,$ il che corrisponde alla definizione di semidefinitezza positiva quando sostituiamo le matrici con gli scalari. Sebbene le matrici siano oggetti più complessi degli scalari in generale, questo rimane comunque un modo utile per pensare alle matrici semidefinite positive.

Questo spiega anche la notazione comune $P\geq 0,$ che indica che $P$ è semidefinita positiva. Nota in particolare che $P\geq 0$ non significa che ogni voce di $P$ sia non negativa in questo contesto; esistono matrici semidefinite positive con voci negative, così come matrici le cui voci sono tutte positive ma che non sono semidefinite positive.

Interpretazione delle matrici densità

A questo punto, la definizione delle matrici densità può sembrare piuttosto arbitraria e astratta, poiché non abbiamo ancora associato alcun significato a queste matrici o alle loro voci. Il modo in cui le matrici densità funzionano e possono essere interpretate si chiarirà man mano che la lezione prosegue, ma per ora può essere utile pensare alle voci delle matrici densità nel seguente modo (un po' informale).

• Le voci diagonali di una matrice densità ci forniscono le probabilità che ciascuno stato classico appaia se eseguiamo una misurazione nella base standard — quindi possiamo pensare a queste voci come alla descrizione del "peso" o della "probabilità" associata a ciascuno stato classico.

• Le voci fuori diagonale di una matrice densità descrivono il grado in cui i due stati classici corrispondenti a quella voce (cioè quello corrispondente alla riga e quello corrispondente alla colonna) si trovano in sovrapposizione quantistica, nonché la fase relativa tra di essi.

Non è certo ovvio a priori che gli stati quantistici debbano essere rappresentati da matrici densità. In effetti, c'è un senso in cui la scelta di rappresentare gli stati quantistici tramite matrici densità porta naturalmente all'intera descrizione matematica dell'informazione quantistica. Tutto il resto dell'informazione quantistica segue in realtà in modo abbastanza logico da questa unica scelta!

Connessione ai vettori di stato quantistici

Ricorda che un vettore di stato quantistico $\vert\psi\rangle$ che descrive uno stato quantistico di $\mathsf{X}$ è un vettore colonna con norma euclidea uguale a $1$ le cui voci sono state messe in corrispondenza con l'insieme degli stati classici $\Sigma.$ La rappresentazione come matrice densità $\rho$ dello stesso stato è definita come segue.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Per essere chiari, stiamo moltiplicando un vettore colonna per un vettore riga, quindi il risultato è una matrice quadrata le cui righe e colonne corrispondono a $\Sigma.$ Le matrici di questa forma, oltre a essere matrici densità, sono sempre proiezioni e hanno rango uguale a $1.$

Per esempio, definiamo due vettori di stato di qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Le matrici densità corrispondenti a questi due vettori sono le seguenti.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ecco una tabella che elenca questi stati insieme ad altri esempi di base: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ e $\vert {-}\rangle.$ Rivedremo questi sei stati più avanti nella lezione.

Vettore di stato	Matrice densità
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Per un altro esempio, ecco uno stato tratto dalla lezione Single systems del corso "Basics of quantum information", incluse sia la rappresentazione come vettore di stato che come matrice densità.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Le matrici densità che assumono la forma $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ per un vettore di stato quantistico $\vert \psi \rangle$ sono note come stati puri. Non ogni matrice densità può essere scritta in questa forma; alcuni stati non sono puri.

Come matrici densità, gli stati puri hanno sempre un autovalore uguale a $1$ e tutti gli altri autovalori uguali a $0.$ Questo è coerente con l'interpretazione che gli autovalori di una matrice densità descrivono la casualità o l'incertezza intrinseche a quello stato. In sostanza, non c'è incertezza per uno stato puro $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — lo stato è definitivamente $\vert \psi \rangle.$

In generale, per un vettore di stato quantistico

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

per un sistema con $n$ stati classici, la rappresentazione come matrice densità dello stesso stato è la seguente.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Quindi, nel caso speciale degli stati puri, possiamo verificare che le voci diagonali di una matrice densità descrivono le probabilità che una misurazione nella base standard produca ciascuno dei possibili stati classici.

Un'osservazione finale sugli stati puri è che le matrici densità eliminano la degenerazione relativa alle fasi globali presente per i vettori di stato quantistici. Supponiamo di avere due vettori di stato quantistici che differiscono per una fase globale: $\vert \psi \rangle$ e $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ per qualche numero reale $\theta.$ Poiché differiscono per una fase globale, questi vettori rappresentano esattamente lo stesso stato quantistico, nonostante i vettori possano essere diversi. Le matrici densità che otteniamo da questi due vettori di stato, d'altra parte, sono identiche.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

In generale, le matrici densità forniscono una rappresentazione unica degli stati quantistici: due stati quantistici sono identici, generando esattamente le stesse statistiche di risultato per ogni possibile misurazione che può essere eseguita su di essi, se e solo se le loro rappresentazioni come matrici densità sono uguali. Usando il linguaggio matematico, possiamo esprimere questo dicendo che le matrici densità offrono una rappresentazione fedele degli stati quantistici.