Discriminazione e tomografia di stati quantistici

Nell'ultima parte della lezione, considereremo brevemente due problemi legati alle misure: la discriminazione di stati quantistici e la tomografia di stati quantistici.

1. Discriminazione di stati quantistici

   Per la discriminazione di stati quantistici, disponiamo di una collezione nota di stati quantistici $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ insieme a probabilità $p_0,\ldots,p_{m-1}$ associate a questi stati. Un modo conciso per esprimere tutto ciò è dire che abbiamo un ensemble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   di stati quantistici.

   Un numero $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ viene scelto casualmente secondo le probabilità $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ e il sistema $\mathsf{X}$ viene preparato nello stato $\rho_a.$ L'obiettivo è determinare, tramite una misura del solo $\mathsf{X},$ quale valore di $a$ è stato scelto.

   Abbiamo quindi un numero finito di alternative, insieme a una distribuzione a priori — cioè la nostra conoscenza della probabilità che ciascun $a$ venga selezionato — e l'obiettivo è capire quale alternativa si è effettivamente verificata. Per alcune scelte di stati e probabilità questo può essere semplice; per altre potrebbe non essere possibile senza rischiare di commettere un errore.

2. Tomografia di stati quantistici

   Per la tomografia di stati quantistici, abbiamo uno stato quantistico sconosciuto di un sistema — quindi, a differenza della discriminazione di stati quantistici, in genere non esiste alcuna distribuzione a priori né alcuna informazione sulle possibili alternative.

   Questa volta, però, non è una singola copia dello stato ad essere disponibile, bensì molte copie indipendenti. Ossia, $N$ sistemi identici $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ sono ciascuno preparato indipendentemente nello stato $\rho$ per qualche numero (possibilmente grande) $N.$ L'obiettivo è trovare un'approssimazione dello stato sconosciuto, come matrice densità, misurando i sistemi.

Discriminare tra due stati

Il caso più semplice di discriminazione di stati quantistici prevede due stati, $\rho_0$ e $\rho_1,$ da discriminare.

Immagina una situazione in cui un bit $a$ viene scelto casualmente: $a = 0$ con probabilità $p$ e $a = 1$ con probabilità $1 - p.$ Un sistema $\mathsf{X}$ viene preparato nello stato $\rho_a,$ cioè $\rho_0$ o $\rho_1$ a seconda del valore di $a,$ e ci viene consegnato. Il nostro obiettivo è indovinare correttamente il valore di $a$ tramite una misura su $\mathsf{X}.$ In modo preciso, vogliamo massimizzare la probabilità che la nostra ipotesi sia corretta.

Una misura ottimale

Un modo ottimale per risolvere questo problema parte dalla decomposizione spettrale di una differenza pesata tra $\rho_0$ e $\rho_1,$ dove i pesi sono le probabilità corrispondenti.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Si noti che compare un segno meno anziché un segno più in questa espressione: si tratta di una differenza pesata, non di una somma pesata.

Possiamo massimizzare la probabilità di un'ipotesi corretta scegliendo una misura proiettiva $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ nel modo seguente. Prima partizioniamo gli elementi di $\{0,\ldots,n-1\}$ in due insiemi disgiunti $S_0$ e $S_1$ a seconda che l'autovalore corrispondente della differenza pesata sia non negativo o negativo.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Possiamo quindi scegliere una misura proiettiva come segue.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{e}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Non importa davvero in quale dei due insiemi $S_0$ o $S_1$ inseriamo i valori di $k$ per cui $\lambda_k = 0.$ Qui scegliamo arbitrariamente di includerli in $S_0.$)

Questa è una misura ottimale nella situazione considerata, che minimizza la probabilità di un'identificazione errata dello stato selezionato.

Probabilità di correttezza

Determiniamo ora la probabilità di correttezza per la misura $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Per cominciare, non è necessario preoccuparsi della scelta specifica fatta per $\Pi_0$ e $\Pi_1,$ anche se può essere utile tenerla a mente. Per qualsiasi misura $\{P_0,P_1\}$ (non necessariamente proiettiva) possiamo scrivere la probabilità di correttezza come segue.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Usando il fatto che $\{P_0,P_1\}$ è una misura, quindi $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ possiamo riscrivere questa espressione nel modo seguente.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

D'altra parte, avremmo potuto fare la sostituzione $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ al suo posto. Questo non cambierebbe il valore ma fornisce un'espressione alternativa.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Le due espressioni hanno lo stesso valore, quindi possiamo calcolare la loro media per ottenere un'ulteriore espressione per questo valore. (La media delle due espressioni è solo un trucco per semplificare l'espressione risultante.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Ora si capisce perché abbia senso scegliere le proiezioni $\Pi_0$ e $\Pi_1$ (come specificato sopra) per $P_0$ e $P_1,$ rispettivamente — perché è così che si può rendere la traccia nell'espressione finale il più grande possibile. In particolare,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Quindi, calcolando la traccia, otteniamo la somma dei valori assoluti degli autovalori — che è uguale a ciò che viene chiamato la norma della traccia della differenza pesata.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Pertanto, la probabilità che la misura $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ porti a una discriminazione corretta di $\rho_0$ e $\rho_1,$ dati con probabilità $p$ e $1-p,$ rispettivamente, è la seguente.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Il fatto che questa sia la probabilità ottimale per una discriminazione corretta di $\rho_0$ e $\rho_1,$ dati con probabilità $p$ e $1-p,$ è comunemente noto come teorema di Helstrom–Holevo (o talvolta semplicemente teorema di Helstrom).

Discriminare tre o più stati

Per la discriminazione di stati quantistici con tre o più stati, non è nota alcuna soluzione in forma chiusa per una misura ottimale, anche se è possibile formulare il problema come un programma semidefinito — il che consente approssimazioni numeriche efficienti di misure ottimali con l'aiuto di un computer.

È anche possibile verificare (o falsificare) l'ottimalità di una data misura in un problema di discriminazione di stati tramite una condizione nota come condizione di Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. In particolare, per il problema di discriminazione di stati definito dall'ensemble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

la misura $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ è ottimale se e solo se la matrice

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

è semidefinita positiva per ogni $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Ad esempio, considera il problema di discriminazione di stati quantistici in cui uno dei quattro stati tetraedrici $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ viene selezionato uniformemente a caso. La misura tetraedrica $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ riesce con probabilità

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Questo è ottimale per la condizione di Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, come rivela un calcolo che mostra che

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

per $a = 0,1,2,3.$

Tomografia di stati quantistici

Infine, discuteremo brevemente il problema della tomografia di stati quantistici. In questo problema, ci viene fornito un numero elevato $N$ di copie indipendenti di uno stato quantistico sconosciuto $\rho,$ e l'obiettivo è ricostruire un'approssimazione $\tilde{\rho}$ di $\rho.$ Per essere precisi, vogliamo trovare una descrizione classica di una matrice densità $\tilde{\rho}$ che sia il più vicina possibile a $\rho.$

Possiamo descrivere la situazione anche nel modo seguente. Una matrice densità sconosciuta $\rho$ viene selezionata, e ci viene dato accesso a $N$ sistemi quantistici $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ ognuno dei quali è stato preparato indipendentemente nello stato $\rho.$ Quindi lo stato del sistema composto $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ è

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ volte)}$$

L'obiettivo è eseguire misure sui sistemi $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ e, sulla base degli esiti di quelle misure, calcolare una matrice densità $\tilde{\rho}$ che approssimi fedelmente $\rho.$ Questo si rivela un problema affascinante e su di esso è in corso ricerca attiva.

Si possono considerare diversi tipi di strategie per affrontare il problema. Ad esempio, si può immaginare una strategia in cui ciascuno dei sistemi $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ viene misurato separatamente, uno dopo l'altro, producendo una sequenza di esiti di misura. Si possono fare scelte specifiche diverse riguardo a quali misure eseguire, incluse selezioni adattive e non adattive. In altre parole, la scelta di quale misura eseguire su un particolare sistema potrebbe dipendere o meno dagli esiti delle misure precedenti. Sulla base della sequenza di esiti di misura, viene ricavata una stima $\tilde{\rho}$ per lo stato $\rho$ — e anche qui esistono diverse metodologie per farlo.

Un approccio alternativo consiste nell'eseguire un'unica misura congiunta dell'intera collezione, considerando $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ come un unico sistema e selezionando una singola misura il cui output è una stima $\tilde{\rho}$ per lo stato $\rho.$ Questo può portare a una stima migliore rispetto a quanto possibile con misure separate dei singoli sistemi, anche se una misura congiunta su tutti i sistemi insieme è probabilmente molto più difficile da implementare.

Tomografia di qubit con misure di Pauli

Consideriamo ora la tomografia di stati quantistici nel caso semplice in cui $\rho$ è una matrice densità di un qubit. Supponiamo di avere dei qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ ciascuno indipendentemente nello stato $\rho,$ e il nostro obiettivo è calcolare un'approssimazione $\tilde{\rho}$ vicina a $\rho.$

La nostra strategia sarà quella di dividere gli $N$ qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ in tre collezioni di dimensione approssimativamente uguale, una per ciascuna delle tre matrici di Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ e $\sigma_z.$ Ogni qubit viene poi misurato indipendentemente come segue.

1. Per ciascuno dei qubit nella collezione associata a $\sigma_x$ eseguiamo una misura $\sigma_x$. Ciò significa che il qubit viene misurato rispetto alla base $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ che è una base ortonormale di autovettori di $\sigma_x,$ e gli esiti di misura corrispondenti sono gli autovalori associati ai due autovettori: $+1$ per lo stato $\vert + \rangle$ e $-1$ per lo stato $\vert -\rangle.$ Facendo la media degli esiti su tutti gli stati della collezione associata a $\sigma_x,$ otteniamo un'approssimazione del valore atteso

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Per ciascuno dei qubit nella collezione associata a $\sigma_y$ eseguiamo una misura $\sigma_y$. Una tale misura è simile a una misura $\sigma_x,$ eccetto che la base di misura è $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ gli autovettori di $\sigma_y.$ Facendo la media degli esiti su tutti gli stati della collezione associata a $\sigma_y,$ otteniamo un'approssimazione del valore atteso

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Per ciascuno dei qubit nella collezione associata a $\sigma_z$ eseguiamo una misura $\sigma_z$. In questo caso la base di misura è la base standard $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ gli autovettori di $\sigma_z.$ Facendo la media degli esiti su tutti gli stati della collezione associata a $\sigma_z,$ otteniamo un'approssimazione del valore atteso

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Una volta ottenute le approssimazioni

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

facendo la media degli esiti di misura per ciascuna collezione, possiamo approssimare $\rho$ come

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Nel limite in cui $N$ tende all'infinito, questa approssimazione converge in probabilità alla vera matrice densità $\rho$ per la legge dei grandi numeri, e noti risultati statistici (come la disuguaglianza di Hoeffding) possono essere usati per limitare la probabilità che l'approssimazione $\tilde{\rho}$ si discosti da $\rho$ di varie quantità.

È importante riconoscere, tuttavia, che la matrice $\tilde{\rho}$ ottenuta in questo modo potrebbe non essere una matrice densità. In particolare, anche se avrà sempre traccia uguale a $1,$ potrebbe non essere semidefinita positiva. Esistono diverse strategie note per "arrotondare" una tale approssimazione $\tilde{\rho}$ a una matrice densità; una di esse consiste nel calcolare una decomposizione spettrale, sostituire eventuali autovalori negativi con $0,$ e poi rinormalizzare (dividendo la matrice ottenuta per la sua traccia).

Tomografia di qubit con la misura tetraedrica

Un'altra opzione per eseguire la tomografia di qubit è misurare ogni qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ usando la misura tetraedrica $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ descritta in precedenza. Ossia,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

per

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Ogni esito viene ottenuto un certo numero di volte, che denotiamo come $n_a$ per ogni $a\in\{0,1,2,3\},$ in modo che $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Il rapporto di questi numeri con $N$ fornisce una stima della probabilità associata a ciascun possibile esito:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Infine, useremo la seguente formula notevole:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Per dimostrare questa formula, possiamo usare la seguente equazione per i quadrati dei valori assoluti dei prodotti interni degli stati tetraedrici, verificabile mediante calcoli diretti.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Le quattro matrici

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

sono linearmente indipendenti, quindi è sufficiente dimostrare che la formula è vera quando $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ per $b = 0,1,2,3.$ In particolare,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

e quindi

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Arriviamo a un'approssimazione di $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Questa approssimazione sarà sempre una matrice hermitiana con traccia uguale a uno, ma potrebbe non essere semidefinita positiva. In tal caso, l'approssimazione deve essere "arrotondata" a una matrice densità, in modo simile alla strategia che utilizza le misure di Pauli.