Rappresentazioni dei canali

Di seguito discuteremo le rappresentazioni matematiche dei canali.

Le applicazioni lineari da vettori a vettori possono essere rappresentate da matrici in modo familiare, dove l'azione dell'applicazione lineare è descritta dalla moltiplicazione matrice-vettore. I canali però sono applicazioni lineari da matrici a matrici, non da vettori a vettori. Quindi, in generale, come possiamo esprimere i canali in termini matematici?

Per alcuni canali potremmo avere una formula semplice che li descrive, come per i tre esempi di canali qubit non unitari descritti in precedenza. Ma un canale arbitrario potrebbe non avere una formula così elegante, quindi in generale non è pratico esprimere un canale in questo modo.

Come punto di confronto, nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica usiamo matrici unitarie per rappresentare le operazioni sui vettori di stato quantistico: ogni matrice unitaria rappresenta un'operazione valida e ogni operazione valida può essere espressa come una matrice unitaria. In sostanza, la domanda che ci poniamo è: come possiamo fare qualcosa di analogo per i canali?

Per rispondere a questa domanda, avremo bisogno di qualche strumento matematico aggiuntivo. Vedremo che i canali possono, in effetti, essere descritti matematicamente in diversi modi, incluse rappresentazioni intitolate in onore di tre persone che hanno svolto un ruolo chiave nel loro sviluppo: Stinespring, Kraus, e Choi. Insieme, questi diversi modi di descrivere i canali offrono angolazioni diverse da cui possono essere osservati e analizzati.

Rappresentazioni di Stinespring

Le rappresentazioni di Stinespring si basano sull'idea che ogni canale può essere implementato in modo standard, dove un sistema di input viene prima combinato con un sistema di lavoro inizializzato, formando un sistema composto; poi viene eseguita un'operazione unitaria sul sistema composto; e infine il sistema di lavoro viene scartato (o tracciato via), lasciando l'output del canale.

La figura seguente rappresenta tale implementazione, sotto forma di diagramma a circuito, per un canale i cui sistemi di input e di output coincidono con lo stesso sistema $\mathsf{X}$.

In questo diagramma, i fili rappresentano sistemi arbitrari, come indicato dalle etichette sopra i fili, e non necessariamente singoli qubit. Inoltre, il simbolo di massa comunemente usato nell'ingegneria elettrica indica esplicitamente che $\mathsf{W}$ viene scartato.

In parole, il funzionamento dell'implementazione è il seguente. Il sistema di input $\mathsf{X}$ inizia in qualche stato $\rho$, mentre un sistema di lavoro $\mathsf{W}$ viene inizializzato allo stato della base standard $\vert 0\rangle$. Un'operazione unitaria $U$ viene eseguita sulla coppia $(\mathsf{W},\mathsf{X})$, e infine il sistema di lavoro $\mathsf{W}$ viene tracciato via, lasciando $\mathsf{X}$ come output.

Nota che stiamo presupponendo che $0$ sia uno stato classico di $\mathsf{W}$, e scegliamo che sia lo stato inizializzato di questo sistema, il che aiuterà a semplificare la matematica. Si potrebbe tuttavia scegliere qualsiasi stato puro fissato per rappresentare lo stato inizializzato di $\mathsf{W}$ senza modificare le proprietà fondamentali della rappresentazione.

Un'espressione matematica del canale risultante, $\Phi,$ è la seguente.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Come al solito, usiamo la convenzione di ordinamento di Qiskit: il sistema $\mathsf{X}$ è in cima nel diagramma, e quindi corrisponde al fattore tensoriale di destra nella formula.

In generale, il sistema di input e di output di un canale non devono necessariamente essere gli stessi. Ecco una figura che rappresenta l'implementazione di un canale $\Phi$ il cui sistema di input è $\mathsf{X}$ e il cui sistema di output è $\mathsf{Y}$.

Questa volta l'operazione unitaria trasforma $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ in una coppia $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$, dove $\mathsf{G}$ è un nuovo sistema "spazzatura" che viene tracciato via, lasciando $\mathsf{Y}$ come sistema di output. Affinché $U$ sia unitaria, deve essere una matrice quadrata. Ciò richiede che la coppia $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ abbia lo stesso numero di stati classici della coppia $(\mathsf{W},\mathsf{X})$, quindi i sistemi $\mathsf{W}$ e $\mathsf{G}$ devono essere scelti in modo da rendere ciò possibile.

Otteniamo un'espressione matematica del canale risultante, $\Phi,$ simile a quella di prima.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Quando un canale è descritto in questo modo, come un'operazione unitaria insieme a una specifica di come il sistema di lavoro viene inizializzato e come viene selezionato il sistema di output, diciamo che è espresso in forma di Stinespring o che è una rappresentazione di Stinespring del canale.

Non è affatto ovvio, ma ogni canale ha effettivamente una rappresentazione di Stinespring, come vedremo alla fine della lezione. Vedremo anche che le rappresentazioni di Stinespring non sono uniche; ci saranno sempre modi diversi di implementare lo stesso canale nel modo descritto.

Osservazione

Nel contesto dell'informazione quantistica, il termine rappresentazione di Stinespring si riferisce comunemente a un'espressione leggermente più generale di un canale della forma

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

per un'isometria $A$, ovvero una matrice le cui colonne sono ortonormali ma che potrebbe non essere quadrata. Per le rappresentazioni di Stinespring nella forma che abbiamo adottato come definizione, possiamo ottenere un'espressione di quest'altra forma prendendo

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Canale di dephasing completo

Ecco una rappresentazione di Stinespring del canale di dephasing qubit $\Delta$. In questo diagramma, entrambi i fili rappresentano singoli qubit — quindi questo è un ordinario diagramma di circuito quantistico.

Per verificare che l'effetto di questo circuito sul qubit di input sia effettivamente descritto dal canale di dephasing completo, possiamo percorrere il circuito passo dopo passo, utilizzando la rappresentazione matriciale esplicita della traccia parziale discussa nella lezione precedente. Chiameremo il qubit in cima $\mathsf{X}$ — questo è l'input e l'output del canale — e supporremo che $\mathsf{X}$ parta da uno stato arbitrario $\rho$.

Il primo passo è l'introduzione di un qubit di lavoro, $\mathsf{W}.$ Prima che venga eseguito il gate NOT controllato, lo stato della coppia $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ è rappresentato dalla seguente matrice densità.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

In base alla convenzione di ordinamento di Qiskit, il qubit in cima $\mathsf{X}$ è a destra e il qubit in fondo $\mathsf{W}$ è a sinistra. Stiamo usando matrici densità anziché vettori di stato quantistico, ma vengono messe in prodotto tensoriale in modo simile a quanto fatto nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica.

Il passo successivo è eseguire l'operazione NOT controllato, dove $\mathsf{X}$ è il controllo e $\mathsf{W}$ è il target. Tenendo ancora presente la convenzione di ordinamento di Qiskit, la rappresentazione matriciale di questo gate è la seguente.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Questa è un'operazione unitaria, e per applicarla a una matrice densità si coniuga per la matrice unitaria. La trasposta coniugata non modifica questa particolare matrice, quindi il risultato è il seguente.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Infine, viene eseguita la traccia parziale su $\mathsf{W}$. Ricordando l'azione di questa operazione sulle matrici $4\times 4$, descritta nella lezione precedente, otteniamo la seguente matrice densità di output.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Possiamo in alternativa calcolare la traccia parziale convertendo prima in notazione di Dirac.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Tracciando via il qubit a sinistra si ottiene la stessa risposta di prima.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Un modo intuitivo di pensare a questo circuito è che l'operazione NOT controllato copia effettivamente lo stato classico del qubit di input, e quando la copia viene buttata nella spazzatura il qubit di input "collassa" probabilisticamente a uno dei due possibili stati classici, il che equivale al dephasing completo.

Canale di dephasing completo (alternativo)

Il circuito descritto sopra non è l'unico modo per implementare il canale di dephasing completo. Ecco un modo diverso di farlo.

Ecco una rapida analisi che mostra che questa implementazione funziona. Dopo che il gate di Hadamard viene eseguito abbiamo questo stato a due qubit come matrice densità:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Il gate $\sigma_z$ controllato opera per coniugazione nel modo seguente.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Infine il sistema di lavoro $\mathsf{W}$ viene tracciato via.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Questa implementazione si basa su un'idea semplice: il dephasing è equivalente a non fare nulla (ovvero applicare un'operazione identità) oppure applicare un gate $\sigma_z$, ciascuno con probabilità $1/2$.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Ovvero, il canale di dephasing completo è un esempio di canale unitario misto, e più specificamente, un canale di Pauli.

Canale di reset del qubit

Il canale di reset del qubit può essere implementato come segue.

Il gate di swap sposta semplicemente lo stato inizializzato $\vert 0\rangle$ del qubit di lavoro in modo che venga dato in output, mentre lo stato di input $\rho$ viene spostato al qubit in basso e poi tracciato via.

In alternativa, se non richiediamo che l'output del canale rimanga in cima, possiamo prendere questo circuito molto semplice come nostra rappresentazione.

In parole, reimpostare un qubit allo stato $\vert 0\rangle$ è equivalente a buttare il qubit nella spazzatura e prenderne uno nuovo.

Rappresentazioni di Kraus

Ora parleremo delle rappresentazioni di Kraus, che offrono un modo comodo, sotto forma di formula, per esprimere l'azione di un canale tramite moltiplicazione e addizione di matrici. In particolare, una rappresentazione di Kraus è la specificazione di un canale, $\Phi,$ nella seguente forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Qui, $A_0,\ldots,A_{N-1}$ sono matrici che hanno tutte le stesse dimensioni: le loro colonne corrispondono agli stati classici del sistema di input, $\mathsf{X},$ e le loro righe corrispondono agli stati classici del sistema di output, che sia $\mathsf{X}$ o un altro sistema $\mathsf{Y}.$ Affinché $\Phi$ sia un canale valido, queste matrici devono soddisfare la seguente condizione.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Questa condizione è equivalente alla condizione che $\Phi$ preservi la traccia. L'altra proprietà richiesta a un canale — ovvero la completa positività — segue dalla forma generale dell'equazione per $\Phi$, come somma di coniugazioni.

A volte è comodo nominare le matrici $A_0,\ldots,A_{N-1}$ in modo diverso. Ad esempio, potremmo numerarle a partire da $1$, oppure potremmo usare gli stati di un insieme arbitrario di stati classici $\Gamma$ come pedici al posto dei numeri:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{dove} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Questi diversi modi di nominare queste matrici, dette matrici di Kraus, sono tutti comuni e possono essere comodi in situazioni diverse — ma in questa lezione ci atterremo ai nomi $A_0,\ldots,A_{N-1}$ per semplicità.

Il numero $N$ può essere un intero positivo arbitrario, ma non deve mai essere troppo grande: se il sistema di input $\mathsf{X}$ ha $n$ stati classici e il sistema di output $\mathsf{Y}$ ha $m$ stati classici, allora ogni canale da $\mathsf{X}$ a $\mathsf{Y}$ avrà sempre una rappresentazione di Kraus per cui $N$ è al più il prodotto $nm$.

Canale di dephasing completo

Otteniamo una rappresentazione di Kraus del canale di dephasing completo prendendo $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ e $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Queste matrici soddisfano la condizione richiesta.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

In alternativa possiamo prendere $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ e $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$, in modo che

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

come calcolato in precedenza. Questa volta la condizione richiesta può essere verificata come segue.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Canale di reset del qubit

Otteniamo una rappresentazione di Kraus del canale di reset del qubit prendendo $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ e $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Queste matrici soddisfano la condizione richiesta.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Canale completamente depolarizzante

Un modo per ottenere una rappresentazione di Kraus per il canale completamente depolarizzante è scegliere le matrici di Kraus $A_0,\ldots,A_3$ come segue.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Per qualsiasi matrice densità di qubit $\rho$ abbiamo allora

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Una rappresentazione di Kraus alternativa si ottiene scegliendo le matrici di Kraus come segue.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Per verificare che queste matrici di Kraus rappresentino effettivamente il canale completamente depolarizzante, osserviamo innanzitutto come funziona la coniugazione di una matrice $2\times 2$ arbitraria per una matrice di Pauli.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Questo ci permette di verificare la correttezza della nostra rappresentazione di Kraus.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Questa rappresentazione di Kraus esprime un'idea importante: lo stato di un qubit può essere completamente randomizzato applicandovi una delle quattro matrici di Pauli (inclusa la matrice identità) scelta uniformemente a caso. Il canale completamente depolarizzante è quindi un altro esempio di canale di Pauli.

Non è possibile trovare una rappresentazione di Kraus per il canale completamente depolarizzante $\Omega$ con tre o meno matrici di Kraus; per questo canale ne servono almeno quattro.

Canali unitari

Se abbiamo una matrice unitaria $U$ che rappresenta un'operazione su un sistema $\mathsf{X}$, possiamo esprimere l'azione di questa operazione unitaria come un canale:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Questa espressione è già una rappresentazione di Kraus valida del canale $\Phi$, dove abbiamo una sola matrice di Kraus $A_0 = U$. In questo caso, la condizione richiesta

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

assume la forma molto più semplice $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$, che sappiamo essere vera perché $U$ è unitaria.

Rappresentazioni di Choi

Ora parleremo di un terzo modo in cui i canali possono essere descritti, attraverso la rappresentazione di Choi. L'idea è che ogni canale sia rappresentato da un'unica matrice nota come la sua matrice di Choi. Se il sistema di input ha $n$ stati classici e il sistema di output ha $m$ stati classici, allora la matrice di Choi del canale avrà $nm$ righe e $nm$ colonne.

Le matrici di Choi forniscono una rappresentazione fedele dei canali, nel senso che due canali sono uguali se e solo se hanno la stessa matrice di Choi. Uno dei motivi per cui questo è importante è che ci fornisce un modo per determinare se due descrizioni diverse corrispondono allo stesso canale o a canali diversi: si calcolano semplicemente le matrici di Choi e le si confronta per vedere se sono uguali. Al contrario, le rappresentazioni di Stinespring e di Kraus non sono univoche in questo senso, come abbiamo visto.

Le matrici di Choi sono utili anche in altri ambiti per scoprire varie proprietà matematiche dei canali.

Definizione

Sia $\Phi$ un canale da un sistema $\mathsf{X}$ a un sistema $\mathsf{Y}$, e supponiamo che l'insieme degli stati classici del sistema di input $\mathsf{X}$ sia $\Sigma$. La rappresentazione di Choi di $\Phi$, denotata $J(\Phi)$, è definita dalla seguente equazione.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Se supponiamo che $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ per qualche intero positivo $n$, possiamo esprimere $J(\Phi)$ alternativamente come una matrice a blocchi:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

Cioè, come matrice a blocchi, la matrice di Choi di un canale ha un blocco $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ per ogni coppia $(a,b)$ di stati classici del sistema di input, con i blocchi disposti in modo naturale.

Nota che l'insieme $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ forma una base per lo spazio di tutte le matrici $n\times n.$ Poiché $\Phi$ è lineare, ne consegue che la sua azione può essere ricavata dalla sua matrice di Choi prendendo combinazioni lineari dei blocchi.

Lo stato di Choi di un canale

Un altro modo di pensare alla matrice di Choi di un canale è che si tratta di una matrice densità se dividiamo per $n = \vert\Sigma\vert$. Concentriamoci sulla situazione in cui $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ per semplicità, e immaginiamo di avere due copie identiche di $\mathsf{X}$ che si trovano insieme nello stato entangled

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Come matrice di densità questo stato è il seguente.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Se applichiamo $\Phi$ alla copia di $\mathsf{X}$ sul lato destro, otteniamo la matrice di Choi divisa per $n$.

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

In parole, a meno di un fattore di normalizzazione $1/n$, la matrice di Choi di $\Phi$ è la matrice densità che otteniamo valutando $\Phi$ su una metà di una coppia massimamente entangled di sistemi di input, come illustra la figura seguente.

Nota in particolare che questo implica che la matrice di Choi di un canale deve essere sempre semidefinita positiva.

Vediamo anche che, poiché il canale $\Phi$ è applicato al solo sistema destro/superiore, non può influenzare lo stato ridotto del sistema sinistro/inferiore. Nel caso in esame, quello stato è lo stato completamente misto $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$, e quindi

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Cancellando il denominatore $n$ da entrambi i lati si ottiene $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

Possiamo giungere alla stessa conclusione usando il fatto che i canali devono sempre preservare la traccia, e quindi

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

In sintesi, la rappresentazione di Choi $J(\Phi)$ per qualsiasi canale $\Phi$ deve essere semidefinita positiva e deve soddisfare

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Come vedremo entro la fine della lezione, queste due condizioni non sono solo necessarie ma anche sufficienti, il che significa che qualsiasi mappa lineare $\Phi$ da matrici a matrici che soddisfi questi requisiti deve essere, di fatto, un canale.

Canale di dephasing completo

La rappresentazione di Choi del canale di dephasing completo $\Delta$ è

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canale completamente depolarizzante

La rappresentazione di Choi del canale completamente depolarizzante è

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canale di reset del qubit

La rappresentazione di Choi del canale di reset del qubit $\Phi$ è

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Il canale identità

La rappresentazione di Choi del canale identità per qubit $\operatorname{Id}$ è

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Nota in particolare che $J(\operatorname{Id})$ non è la matrice identità. La rappresentazione di Choi non descrive direttamente l'azione di un canale nel modo consueto in cui una matrice rappresenta un'applicazione lineare.