Nozioni fondamentali sui canali quantistici

In termini matematici, i canali sono mappature lineari da matrici densità a matrici densità che soddisfano determinati requisiti. In questa lezione useremo lettere greche maiuscole, tra cui $\Phi$ e $\Psi,$ nonché alcune altre lettere in casi specifici, per fare riferimento ai canali.

Ogni canale $\Phi$ ha un sistema di input e un sistema di output; in genere useremo il nome $\mathsf{X}$ per il sistema di input e $\mathsf{Y}$ per il sistema di output. È comune che il sistema di output di un canale coincida con il sistema di input; in tal caso possiamo usare la stessa lettera $\mathsf{X}$ per indicarli entrambi.

I canali sono mappature lineari

I canali sono descritti da mappature lineari, proprio come le operazioni probabilistiche nella formulazione classica standard dell'informazione e le operazioni unitarie nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica.

Se un canale $\Phi$ viene applicato a un sistema di input $\mathsf{X}$ il cui stato è descritto da una matrice densità $\rho,$ allora il sistema di output del canale è descritto dalla matrice densità $\Phi(\rho).$ Nel caso in cui il sistema di output di $\Phi$ sia anch'esso $\mathsf{X},$ possiamo semplicemente considerare il canale come un cambiamento di stato di $\mathsf{X},$ da $\rho$ a $\Phi(\rho).$ Quando il sistema di output di $\Phi$ è un sistema diverso, $\mathsf{Y},$ invece di $\mathsf{X},$ si intende che $\mathsf{Y}$ è un nuovo sistema creato dal processo di applicazione del canale, e che il sistema di input, $\mathsf{X},$ non è più disponibile una volta applicato il canale — come se il canale stesso avesse trasformato $\mathsf{X}$ in $\mathsf{Y},$ lasciandolo nello stato $\Phi(\rho).$

L'assunzione che i canali siano descritti da mappature lineari può essere vista come un assioma — in altre parole, un postulato base della teoria piuttosto che qualcosa che si dimostra. Possiamo tuttavia intuire la necessità che i canali agiscano linearmente sulle combinazioni convesse di input di matrici densità, affinché siano coerenti con la teoria della probabilità e con ciò che abbiamo già appreso sulle matrici densità.

Per essere più precisi, supponiamo di avere un canale $\Phi$ e di applicarlo a un sistema quando si trova in uno dei due stati rappresentati dalle matrici densità $\rho$ e $\sigma.$ Se applichiamo il canale a $\rho$ otteniamo la matrice densità $\Phi(\rho)$ e se lo applichiamo a $\sigma$ otteniamo la matrice densità $\Phi(\sigma).$ Quindi, se scegliamo casualmente lo stato di input di $\mathsf{X}$ come $\rho$ con probabilità $p$ e $\sigma$ con probabilità $1-p,$ otterremo lo stato di output $\Phi(\rho)$ con probabilità $p,$ e $\Phi(\sigma)$ con probabilità $1-p,$ che rappresentiamo come media pesata di matrici densità: $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

D'altra parte, potremmo pensare allo stato di input del canale come rappresentato dalla media pesata $p\rho + (1-p)\sigma,$ nel qual caso l'output è $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ È lo stesso stato indipendentemente da come scegliamo di interpretarlo, quindi dobbiamo avere

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Ogni volta che abbiamo una mappatura che soddisfa questa condizione per ogni scelta di matrici densità $\rho$ e $\sigma$ e scalari $p\in [0,1],$ esiste sempre un unico modo per estendere quella mappatura a ogni input matriciale (cioè, non solo agli input di matrici densità) in modo che sia lineare.

I canali trasformano le matrici densità in matrici densità

Naturalmente, oltre ad essere mappature lineari, i canali devono anche trasformare matrici densità in matrici densità. Se un canale $\Phi$ viene applicato a un sistema di input mentre questo sistema si trova in uno stato rappresentato da una matrice densità $\rho,$ otteniamo un sistema il cui stato è rappresentato da $\Phi(\rho),$ che deve essere una matrice densità valida affinché possiamo interpretarla come uno stato.

È di fondamentale importanza, però, che consideriamo una situazione più generale, in cui un canale $\Phi$ trasforma un sistema $\mathsf{X}$ in un sistema $\mathsf{Y}$ in presenza di un ulteriore sistema $\mathsf{Z}$ a cui non accade nulla. Cioè, se partiamo dalla coppia di sistemi $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ in uno stato descritto da una certa matrice densità, e poi applichiamo $\Phi$ solo a $\mathsf{X},$ trasformandolo in $\mathsf{Y},$ dobbiamo ottenere una matrice densità che descrive uno stato della coppia $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Possiamo descrivere in termini matematici come un canale $\Phi,$ con sistema di input $\mathsf{X}$ e sistema di output $\mathsf{Y},$ trasforma uno stato della coppia $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ in uno stato di $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ quando a $\mathsf{Z}$ non viene fatto nulla. Per semplicità, assumeremo che l'insieme degli stati classici di $\mathsf{Z}$ sia $\{0,\ldots,m-1\}.$ Questo ci permette di scrivere un'arbitraria matrice densità $\rho,$ che rappresenta uno stato di $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ nella seguente forma.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Sul lato destro di questa equazione abbiamo una matrice a blocchi, che possiamo pensare come una matrice di matrici eccetto che le parentesi interne vengono rimosse. Ciò ci lascia con una matrice ordinaria che può essere descritta alternativamente usando la notazione di Dirac come nella espressione centrale. Ogni matrice $\rho_{a,b}$ ha righe e colonne corrispondenti agli stati classici di $\mathsf{X},$ e queste matrici possono essere determinate con una semplice formula.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Nota che queste non sono matrici densità in generale — è solo quando sono disposte insieme a formare $\rho$ che otteniamo una matrice densità.

La seguente equazione descrive lo stato di $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ che si ottiene quando $\Phi$ viene applicato a $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Nota che, per valutare questa espressione per una data scelta di $\Phi$ e $\rho,$ dobbiamo capire come $\Phi$ funziona come mappatura lineare su input che non sono matrici densità, poiché ogni $\rho_{a,b}$ in generale non sarà una matrice densità di per sé. L'equazione è coerente con l'espressione $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ in cui $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ denota il canale identità sul sistema $\mathsf{Z}.$ Questo presuppone che abbiamo esteso la nozione di prodotto tensoriale alle mappature lineari da matrici a matrici, il che è immediato — ma non è davvero essenziale per la lezione e non verrà spiegato ulteriormente.

Ribadendo quanto detto sopra, affinché una mappatura lineare $\Phi$ sia un canale valido è necessario che, per ogni scelta di $\mathsf{Z}$ e per ogni matrice densità $\rho$ della coppia $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ si ottenga sempre una matrice densità quando $\Phi$ viene applicato a $\mathsf{X}.$ In termini matematici, le proprietà che una mappatura deve possedere per essere un canale sono: deve essere trace-preserving (conservare la traccia) — in modo che la matrice che si ottiene applicando il canale abbia traccia uguale a uno — e completely positive (completamente positiva) — in modo che la matrice risultante sia semidefinita positiva. Entrambe sono proprietà importanti che possono essere considerate e studiate separatamente, ma non è fondamentale per questa lezione considerare tali proprietà in isolamento.

Esistono, in effetti, mappature lineari che producono sempre una matrice densità quando ricevono una matrice densità come input, ma non riescono a mappare matrici densità in matrici densità per sistemi composti, quindi eliminiamo alcune mappature lineari dalla classe dei canali in questo modo. (La mappatura lineare data dalla trasposizione di matrici è l'esempio più semplice.)

Abbiamo una formula analoga a quella precedente nel caso in cui i due sistemi $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Z}$ siano scambiati, cosicché $\Phi$ viene applicato al sistema a sinistra invece che a destra.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Questo presuppone che $\rho$ sia uno stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ invece di $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ In questo caso la descrizione con matrice a blocchi non funziona perché le matrici $\rho_{a,b}$ non cadono in righe e colonne consecutive in $\rho,$ ma la struttura matematica sottostante è la stessa.

Qualsiasi mappatura lineare che soddisfa il requisito di trasformare sempre le matrici densità in matrici densità, anche quando viene applicata solo a una parte di un sistema composto, rappresenta un canale valido. Quindi, in senso astratto, la nozione di canale è determinata dalla nozione di matrice densità, insieme all'assunzione che i canali agiscano linearmente. A questo riguardo, i canali sono analoghi alle operazioni unitarie nella formulazione semplificata dell'informazione quantistica, che sono precisamente le mappature lineari che trasformano sempre i vettori di stato quantistici in vettori di stato quantistici per un dato sistema; nonché alle operazioni probabilistiche (rappresentate da matrici stocastiche) nella formulazione classica standard dell'informazione, che sono precisamente le mappature lineari che trasformano sempre i vettori di probabilità in vettori di probabilità.

Operazioni unitarie come canali

Supponiamo che $\mathsf{X}$ sia un sistema e $U$ una matrice unitaria che rappresenta un'operazione su $\mathsf{X}.$ Il canale $\Phi$ che descrive questa operazione sulle matrici densità è definito come segue per ogni matrice densità $\rho$ che rappresenta uno stato quantistico di $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Questa azione, dove moltiplichiamo per $U$ a sinistra e per $U^{\dagger}$ a destra, viene comunemente chiamata coniugazione per la matrice $U.$

Questa descrizione è coerente con il fatto che la matrice densità che rappresenta un dato vettore di stato quantistico $\vert\psi\rangle$ è $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ In particolare, se l'operazione unitaria $U$ viene eseguita su $\vert\psi\rangle,$ allora lo stato di output è rappresentato dal vettore $U\vert\psi\rangle,$ quindi la matrice densità che descrive questo stato è uguale a

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Una volta saputo che, come canale, l'operazione $U$ ha l'azione $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ sugli stati puri, possiamo concludere per linearità che deve funzionare come specificato dall'equazione $(1)$ per qualsiasi matrice densità $\rho.$

Il canale particolare che otteniamo quando prendiamo $U = \mathbb{I}$ è il canale identità$\;\operatorname{Id},$ a cui possiamo anche aggiungere un pedice (come $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ come abbiamo già visto) quando vogliamo indicare esplicitamente su quale sistema agisce. Il suo output è sempre uguale al suo input: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Potrebbe non sembrare un canale interessante, ma in realtà è molto importante — ed è appropriato che sia il nostro primo esempio. Il canale identità è il canale perfetto in certi contesti, che rappresenta una memoria ideale o una trasmissione perfetta e priva di rumore dell'informazione da un mittente a un destinatario.

Ogni canale definito da un'operazione unitaria in questo modo è effettivamente un canale valido: la coniugazione per una matrice $U$ ci fornisce una mappa lineare; e se $\rho$ è una matrice densità di un sistema $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ e $U$ è unitaria, allora il risultato, che possiamo esprimere come

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

è anch'esso una matrice densità. In particolare, questa matrice deve essere semidefinita positiva, poiché se $\rho = M^{\dagger} M$ allora

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

per $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ e deve avere traccia unitaria per la proprietà ciclica della traccia.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Combinazioni convesse di canali

Supponiamo di avere due canali, $\Phi_0$ e $\Phi_1,$ che condividono lo stesso sistema di input e lo stesso sistema di output. Per qualsiasi numero reale $p\in[0,1],$ potremmo decidere di applicare $\Phi_0$ con probabilità $p$ e $\Phi_1$ con probabilità $1-p,$ il che ci dà un nuovo canale che può essere scritto come $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ In modo esplicito, il modo in cui questo canale agisce su una data matrice densità è specificato dalla seguente semplice equazione.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Più in generale, se abbiamo i canali $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ e un vettore di probabilità $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ possiamo fare la media di questi canali per ottenere un nuovo canale.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Questa è una combinazione convessa di canali, e attraverso questo processo otteniamo sempre un canale valido. Un modo semplice per dirlo in termini matematici è che, per una data scelta di sistema di input e di output, l'insieme di tutti i canali è un insieme convesso.

Come esempio, potremmo scegliere di applicare una tra una collezione di operazioni unitarie a un certo sistema. Otteniamo quello che è noto come canale misto unitario, ovvero un canale che può essere espresso nella seguente forma.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

I canali misti unitari per i quali tutte le operazioni unitarie sono matrici di Pauli (o prodotti tensoriali di matrici di Pauli) sono chiamati canali di Pauli, e sono comunemente incontrati nel calcolo quantistico.

Esempi di canali qubit

Ora esamineremo alcuni esempi specifici di canali che non sono unitari. Per tutti questi esempi, sia il sistema di input che quello di output sono singoli qubit, il che significa che questi sono esempi di canali qubit.

Il canale di reset del qubit

Questo canale fa qualcosa di molto semplice: riporta un qubit allo stato $\vert 0\rangle.$ Come mappatura lineare questo canale può essere espresso come segue per ogni matrice densità qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Sebbene la traccia di ogni matrice densità $\rho$ sia uguale a $1,$ scrivere il canale in questo modo rende chiaro che è una mappatura lineare che potrebbe essere applicata a qualsiasi matrice $2\times 2,$ non solo a una matrice densità. Come abbiamo già osservato, dobbiamo capire come i canali funzionano come mappature lineari su input che non sono matrici densità per descrivere cosa succede quando vengono applicati solo a una parte di un sistema composto.

Ad esempio, supponiamo che $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ siano qubit e che insieme la coppia $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ si trovi nello stato di Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Come matrice densità, questo stato è dato da

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Usando la notazione di Dirac possiamo alternativamente esprimere questo stato come segue.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Applicando il canale di reset del qubit a $\mathsf{A}$ e non facendo nulla a $\mathsf{B}$ otteniamo il seguente stato.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Potrebbe essere allettante dire che il reset di $\mathsf{A}$ ha avuto un effetto su $\mathsf{B},$ facendolo diventare completamente misto — ma in un certo senso è esattamente il contrario. Prima che $\mathsf{A}$ venisse resettato, lo stato ridotto di $\mathsf{B}$ era già lo stato completamente misto, e questo non cambia a seguito del reset di $\mathsf{A}.$

Il canale completamente dephasing

Ecco un esempio di canale qubit chiamato $\Delta,$ descritto dalla sua azione su matrici $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

In parole, $\Delta$ azzera gli elementi fuori dalla diagonale di una matrice $2\times 2.$ Questo esempio può essere generalizzato a sistemi arbitrari, anziché solo qubit: per qualsiasi matrice densità fornita come input, il canale azzera tutti gli elementi fuori dalla diagonale e lascia invariata la diagonale.

Questo canale è chiamato canale completamente dephasing, e può essere visto come una forma estrema del processo noto come decoerenza — che essenzialmente distrugge le sovrapposizioni quantistiche e le trasforma in stati probabilistici classici.

Un altro modo di pensare a questo canale è che descrive una misurazione nella base standard su un qubit, dove un qubit di input viene misurato e poi scartato, e dove l'output è una matrice densità che descrive l'esito della misurazione. In alternativa, ma in modo equivalente, possiamo immaginare che l'esito della misurazione venga scartato, lasciando il qubit nel suo stato post-misurazione.

Consideriamo di nuovo un e-bit, e vediamo cosa succede quando $\Delta$ viene applicato a solo uno dei due qubit. Nello specifico, abbiamo i qubit $\mathsf{A}$ e $\mathsf{B}$ per cui $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ si trova nello stato $\vert\phi^+\rangle,$ e questa volta applichiamo il canale al secondo qubit. Ecco lo stato che otteniamo.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

In alternativa possiamo esprimere questa equazione usando matrici a blocchi.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Possiamo anche considerare un canale qubit che dephasa solo leggermente un qubit, invece di farlo completamente, che è una forma di decoerenza meno estrema rispetto a quella rappresentata dal canale completamente dephasing. In particolare, supponiamo che $\varepsilon \in (0,1)$ sia un numero reale piccolo ma diverso da zero. Possiamo definire un canale

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

che trasforma una data matrice densità qubit $\rho$ in questo modo:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Cioè, non accade nulla con probabilità $1-\varepsilon,$ e con probabilità $\varepsilon,$ il qubit dephasa. In termini di matrici, questa azione può essere espressa come segue, dove gli elementi diagonali vengono lasciati invariati e gli elementi fuori dalla diagonale vengono moltiplicati per $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Il canale completamente depolarizzante

Ecco un altro esempio di canale qubit chiamato $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Qui $\mathbb{I}$ denota la matrice identità $2\times 2.$ In parole, per qualsiasi matrice densità di input $\rho,$ il canale $\Omega$ produce lo stato completamente misto. Non si può essere più rumorosi di così! Questo canale è chiamato canale completamente depolarizzante, e come il canale completamente dephasing può essere generalizzato a sistemi arbitrari al posto dei qubit.

Possiamo anche considerare una variante meno estrema di questo canale in cui la depolarizzazione avviene con probabilità $\varepsilon,$ simile a quanto visto per il canale dephasing.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$