Il codice a ripetizione rivisitato

Ora esamineremo nuovamente il codice a ripetizione a 3 bit, questa volta formulandolo in termini di operazioni di Pauli. Questo sarà il nostro primo esempio di codice stabilizzatore.

Osservabili di Pauli per il codice a ripetizione

Ricorda che, quando applichiamo il codice a ripetizione a 3 bit ai qubit, un dato vettore di stato di qubit $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ viene codificato come

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Qualsiasi stato $\vert\psi\rangle$ di questa forma è una codifica valida a 3 qubit di uno stato di qubit — ma se avessimo uno stato di cui non fossimo sicuri, potremmo verificare di avere una codifica valida controllando le due equazioni seguenti.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

La prima equazione afferma che applicare operazioni $Z$ ai due qubit più a sinistra di $\vert\psi\rangle$ non produce alcun effetto, il che significa che $\vert\psi\rangle$ è un autovettore di $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ con autovalore $1.$ La seconda equazione è analoga, ma le operazioni $Z$ sono applicate ai due qubit più a destra. L'idea è che, se pensiamo a $\vert\psi\rangle$ come combinazione lineare di stati della base standard, la prima equazione implica che possono avere coefficienti non nulli solo gli stati della base standard per cui i due bit più a sinistra hanno parità pari (o, equivalentemente, sono uguali), mentre la seconda equazione implica che possono avere coefficienti non nulli solo quelli per cui i due bit più a destra hanno parità pari.

In modo equivalente, se consideriamo le due operazioni di Pauli $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ e $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ come osservabili e le misuriamo entrambe usando i circuiti suggeriti alla fine della sezione precedente, avremmo la certezza di ottenere esiti di misura corrispondenti agli autovalori $+1$, poiché $\vert\psi\rangle$ è autovettore di entrambi gli osservabili con autovalore $1.$ Tuttavia, la versione semplificata del circuito (combinato) per misurare indipendentemente entrambi gli osservabili, mostrata qui, non è altro che il circuito di controllo della parità per il codice a ripetizione a 3 bit.

Le due equazioni sopra implicano quindi che il circuito di controllo della parità restituisce $00,$ che è la sindrome che indica l'assenza di errori rilevati.

Le operazioni di Pauli a 3 qubit $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ e $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ sono chiamate generatori stabilizzatori per questo codice, e lo stabilizzatore del codice è l'insieme generato dai generatori stabilizzatori.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Lo stabilizzatore è un oggetto matematico fondamentalmente importante associato a questo codice, e il ruolo che svolge verrà discusso nel prosieguo della lezione. Per ora, osserviamo che avremmo potuto fare una scelta diversa per i generatori e i controlli di parità corrispondenti, in particolare prendendo $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ al posto di uno dei generatori che abbiamo selezionato, ma lo stabilizzatore e il codice stesso sarebbero rimasti invariati.

Rilevamento degli errori

Ora considereremo il rilevamento dei bit-flip per il codice a ripetizione a 3 bit, concentrandoci sulle interazioni e le relazioni tra le operazioni di Pauli coinvolte: i generatori stabilizzatori e gli errori stessi.

Supponiamo di aver codificato un qubit usando il codice a ripetizione a 3 bit e che si verifichi un errore di bit-flip sul qubit più a sinistra. Questo trasforma lo stato $\vert\psi\rangle$ secondo l'azione di un'operazione $X$ (o errore $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Questo errore può essere rilevato eseguendo i controlli di parità per il codice a ripetizione a 3 bit, come discusso nella lezione precedente, il che equivale a misurare in modo non distruttivo i generatori stabilizzatori $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ e $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ come osservabili.

Iniziamo con il primo generatore stabilizzatore. Lo stato $\vert\psi\rangle$ è stato colpito da un errore $X$ sul qubit più a sinistra, e il nostro obiettivo è capire come la misura di questo generatore stabilizzatore, come osservabile, venga influenzata da questo errore. Poiché $X$ e $Z$ anti-commutano, mentre qualsiasi matrice commuta con la matrice identità, ne consegue che $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ anti-commuta con $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ D'altro canto, poiché $\vert\psi\rangle$ è una codifica valida di un qubit, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ agisce banalmente su $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Pertanto, $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ è un autovettore di $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ con autovalore $-1.$ Quando la misura associata all'osservabile $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ viene eseguita sullo stato $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ l'esito è quindi certo essere quello associato all'autovalore $-1.$

Un ragionamento analogo può essere applicato al secondo generatore stabilizzatore, ma in questo caso l'errore commuta con il generatore stabilizzatore invece di anti-commutare, quindi l'esito di questa misura è quello associato all'autovalore $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Quello che scopriamo considerando queste equazioni è che, indipendentemente dallo stato originale $\vert\psi\rangle,$ lo stato corrotto è un autovettore di entrambi i generatori stabilizzatori, e se l'autovalore è $+1$ o $-1$ è determinato dal fatto che l'errore commuti o anti-commuti con ciascun generatore stabilizzatore. Per errori rappresentati da operazioni di Pauli, sarà sempre l'uno o l'altro, poiché due operazioni di Pauli qualsiasi o commutano o anti-commutano. D'altro canto, lo stato effettivo $\vert\psi\rangle$ non svolge un ruolo importante, eccetto per il fatto che i generatori stabilizzatori agiscono banalmente su questo stato.

Per questo motivo, in generale non è necessario preoccuparsi dello specifico stato codificato con cui stiamo lavorando. Ciò che conta è se l'errore commuta o anti-commuta con ciascun generatore stabilizzatore. In particolare, queste sono le equazioni rilevanti riguardo a questo particolare errore per questo codice.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Ecco una tabella con una riga per ogni generatore stabilizzatore e una colonna per ogni errore. La voce nella tabella è $+1$ o $-1$ a seconda che l'errore e il generatore stabilizzatore commutino o anti-commutino. La tabella include solo le colonne per gli errori corrispondenti a un singolo bit-flip, nonché nessun errore, descritto dall'identità tensorializzata con se stessa tre volte. Potremmo aggiungere altre colonne per altri errori, ma per ora ci concentreremo solo su questi errori.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Per ogni errore nella tabella, la colonna corrispondente rivela come quell'errore trasforma qualsiasi codifica in un autovettore $+1$ o $-1$ di ciascun generatore stabilizzatore. In modo equivalente, le colonne descrivono la sindrome che otterremmo dai controlli di parità, equivalenti a misure non distruttive dei generatori stabilizzatori come osservabili. Naturalmente, la tabella ha voci $+1$ e $-1$ piuttosto che $0$ e $1$ — ed è comune pensare a una sindrome come a una stringa binaria piuttosto che a una colonna di voci $+1$ e $-1$ — ma possiamo ugualmente pensare a questi vettori con voci $+1$ e $-1$ come sindromi per collegarli direttamente agli autovalori dei generatori stabilizzatori. In generale, le sindromi ci dicono qualcosa su qualsiasi errore si sia verificato, e se sappiamo che si è verificato uno dei quattro possibili errori elencati nella tabella, la sindrome indica qual è.

Sindromi

Le codifiche per il codice a ripetizione a 3 bit sono stati a 3 qubit, quindi sono vettori unitari in uno spazio vettoriale complesso a 8 dimensioni. Le quattro possibili sindromi dividono efficacemente questo spazio a 8 dimensioni in quattro sottospazi a 2 dimensioni, dove i vettori di stato quantistici in ciascun sottospazio producono sempre la stessa sindrome. Il diagramma seguente illustra in modo specifico come lo spazio a 8 dimensioni viene suddiviso dai due generatori stabilizzatori.

Ogni generatore stabilizzatore divide lo spazio in due sottospazi di uguale dimensione, cioè lo spazio degli autovettori $+1$ e lo spazio degli autovettori $-1$ per quell'osservabile. Ad esempio, gli autovettori $+1$ di $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ sono combinazioni lineari di stati della base standard per cui i due bit più a sinistra hanno parità pari, e gli autovettori $-1$ sono combinazioni lineari di stati della base standard per cui i due bit più a sinistra hanno parità dispari. La situazione è analoga per l'altro generatore stabilizzatore, eccetto che per quest'ultimo si tratta dei due bit più a destra anziché di quelli più a sinistra.

I quattro sottospazi a 2 dimensioni corrispondenti alle quattro possibili sindromi sono facili da descrivere in questo caso, grazie al fatto che questo è un codice molto semplice. In particolare, il sottospazio corrispondente alla sindrome $(+1,+1)$ è lo spazio generato da $\vert 000\rangle$ e $\vert 111\rangle$, che è lo spazio delle codifiche valide (noto anche come spazio del codice), e in generale gli spazi sono generati dalla base standard mostrata nei quadrati corrispondenti.

Le sindromi partizionano anche tutte le operazioni di Pauli a 3 qubit in 4 insiemi di uguale dimensione, a seconda della sindrome che quell'operazione (come errore) causerebbe. Ad esempio, qualsiasi operazione di Pauli che commuta con entrambi i generatori stabilizzatori produce la sindrome $(+1,+1),$ e tra le 64 possibili operazioni di Pauli a 3 qubit, ce ne sono esattamente 16 in questa categoria (tra cui $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ e $X\otimes X\otimes X$ per esempio), e lo stesso vale per le altre 3 sindromi.

Entrambe queste proprietà — che le sindromi partizionano sia lo spazio degli stati in cui vivono le codifiche sia tutte le operazioni di Pauli su questo spazio in insiemi di uguale dimensione — sono vere in generale per i codici stabilizzatori, che definiremo con precisione nella prossima sezione.

Sebbene sia principalmente un'osservazione marginale a questo punto, vale la pena menzionare che le operazioni di Pauli che commutano con entrambi i generatori stabilizzatori, o equivalentemente le operazioni di Pauli che producono la sindrome $(+1,+1),$ ma non sono esse stesse proporzionali a elementi dello stabilizzatore, si comportano esattamente come operazioni di Pauli a singolo qubit sul qubit codificato (cioè il qubit logico) per questo codice. Ad esempio, $X\otimes X \otimes X$ commuta con entrambi i generatori stabilizzatori, ma non è proporzionale a nessun elemento dello stabilizzatore, e in effetti l'effetto di questa operazione su una codifica equivale a un gate $X$ sul qubit logico che viene codificato.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

Anche questo è un fenomeno che si generalizza a tutti i codici stabilizzatori.