Operazioni e osservabili di Pauli

Le matrici di Pauli svolgono un ruolo centrale nel formalismo degli stabilizzatori. Inizieremo la lezione con una discussione sulle matrici di Pauli, incluse alcune delle loro proprietà algebriche di base, e vedremo anche come le matrici di Pauli (e i prodotti tensoriali di matrici di Pauli) possano descrivere le misurazioni.

Nozioni di base sulle operazioni di Pauli

Ecco le matrici di Pauli, inclusa la matrice identità $2\times 2$ e le tre matrici di Pauli non-identità.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Proprietà delle matrici di Pauli

Tutte e quattro le matrici di Pauli sono sia unitarie che hermitiane. In precedenza nella serie abbiamo usato i nomi $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ e $\sigma_z$ per riferirci alle matrici di Pauli non-identità, ma nella correzione degli errori è convenzione usare invece le lettere maiuscole $X,$ $Y,$ e $Z.$ Questa convenzione è stata seguita nella lezione precedente e continueremo a usarla nelle lezioni restanti.

Matrici di Pauli non-identità diverse anti-commutano tra loro.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Queste relazioni di anti-commutazione sono semplici e facili da verificare eseguendo le moltiplicazioni, ma sono di importanza critica nel formalismo degli stabilizzatori e non solo. Come vedremo, i segni meno che emergono quando si inverte l'ordine tra due diverse matrici di Pauli non-identità in un prodotto matriciale corrispondono esattamente al rilevamento degli errori nel formalismo degli stabilizzatori.

Abbiamo anche le seguenti regole di moltiplicazione.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Ovvero, ogni matrice di Pauli è il proprio inverso (il che è sempre vero per qualsiasi matrice che sia sia unitaria che hermitiana), e moltiplicare due diverse matrici di Pauli non-identità tra loro dà sempre $\pm i$ volte la restante matrice di Pauli non-identità. In particolare, a meno di un fattore di fase, $Y$ è equivalente a $X Z,$ il che spiega la nostra attenzione agli errori $X$ e $Z$ e l'apparente disinteresse per gli errori $Y$ nella correzione degli errori quantistici; $X$ rappresenta un bit-flip, $Z$ rappresenta un phase-flip, e quindi (a meno di una fase globale) $Y$ rappresenta entrambi questi errori che si verificano simultaneamente sullo stesso qubit.

Operazioni di Pauli su più qubit

Le quattro matrici di Pauli rappresentano tutte operazioni (che potrebbero essere errori) su un singolo qubit — e facendone il prodotto tensoriale otteniamo operazioni su più qubit. Come terminologia, quando ci riferiamo a un'operazione di Pauli a n qubit, intendiamo un prodotto tensoriale di qualsiasi $n$ matrici di Pauli, come negli esempi mostrati qui, per cui $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Spesso il termine operazione di Pauli si riferisce a un prodotto tensoriale di matrici di Pauli insieme a un fattore di fase, o talvolta solo a certi fattori di fase come $\pm 1$ e $\pm i.$ Vi sono buone ragioni matematiche per ammettere fattori di fase come questi — ma, per mantenere le cose il più semplici possibile, in questo corso useremo il termine operazione di Pauli per riferirci a un prodotto tensoriale di matrici di Pauli senza la possibilità di un fattore di fase diverso da 1.

Il peso di un'operazione di Pauli a $n$ qubit è il numero di matrici di Pauli non-identità nel prodotto tensoriale. Ad esempio, il primo esempio sopra ha peso $0,$ il secondo ha peso $2,$ e il terzo ha peso $6.$ Intuitivamente, il peso di un'operazione di Pauli a $n$ qubit è il numero di qubit su cui agisce in modo non banale. È tipico che i codici di correzione degli errori quantistici siano progettati in modo da poter rilevare e correggere gli errori rappresentati da operazioni di Pauli, purché il loro peso non sia troppo elevato.

Operazioni di Pauli come generatori

A volte è utile considerare insiemi di operazioni di Pauli come generatori di insiemi (più precisamente, gruppi) di operazioni, nel senso algebrico che potresti riconoscere se hai familiarità con la teoria dei gruppi. Se non hai familiarità con la teoria dei gruppi, non preoccuparti — non è essenziale per la lezione. Una conoscenza di base della teoria dei gruppi è però fortemente consigliata per chi desidera esplorare la correzione degli errori quantistici in modo più approfondito.

Supponiamo che $P_1, \ldots, P_r$ siano operazioni di Pauli a $n$ qubit. Quando ci riferiamo all'insieme generato da $P_1, \ldots, P_r,$ intendiamo l'insieme di tutte le matrici che si possono ottenere moltiplicando queste matrici tra loro, in qualsiasi combinazione e in qualsiasi ordine, prendendo ognuna quante volte vogliamo. La notazione usata per riferirsi a questo insieme è $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Ad esempio, l'insieme generato dalle tre matrici di Pauli non-identità è il seguente.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Questo si può dedurre dalle regole di moltiplicazione elencate in precedenza. Ci sono 16 matrici diverse in questo insieme, comunemente chiamato gruppo di Pauli.

Per un secondo esempio, se rimuoviamo $Y,$ otteniamo la metà del gruppo di Pauli.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Ecco un ultimo esempio (per ora), in cui stavolta abbiamo $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

In questo caso otteniamo solo quattro elementi, poiché $X\otimes X$ e $Z\otimes Z$ commutano:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Osservabili di Pauli

Le matrici di Pauli, e le operazioni di Pauli a $n$ qubit più in generale, sono unitarie e quindi descrivono operazioni unitarie sui qubit. Ma sono anche matrici hermitiane, e per questo motivo descrivono misurazioni, come verrà spiegato ora.

Osservabili come matrici hermitiane

Considera prima una generica matrice hermitiana $A.$ Quando ci riferiamo ad $A$ come a un osservabile, stiamo associando ad $A$ una certa misura proiettiva univocamente definita. In parole, i possibili risultati sono gli autovalori distinti di $A,$ e le proiezioni che definiscono la misurazione sono quelle che proiettano sugli spazi generati dai corrispondenti autovettori di $A.$ Quindi, i risultati di tale misurazione sono numeri reali — ma poiché le matrici hanno solo un numero finito di autovalori, ci saranno solo un numero finito di diversi risultati di misurazione per una data scelta di $A.$

In dettaglio, per il teorema spettrale, è possibile scrivere

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

per autovalori reali distinti $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ e proiezioni $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ che soddisfano

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Tale espressione di una matrice è unica a meno dell'ordinamento degli autovalori. Un altro modo per dirlo è che, se insistiamo che gli autovalori siano ordinati in modo decrescente $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ allora c'è un solo modo di scrivere $A$ nella forma sopra.

In base a questa espressione, la misurazione che associamo all'osservabile $A$ è la misura proiettiva descritta dalle proiezioni $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ e gli autovalori $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ sono intesi come i risultati della misurazione corrispondenti a queste proiezioni.

Misurazioni dalle operazioni di Pauli

Vediamo come si presentano le misurazioni di questo tipo per le operazioni di Pauli, partendo dalle tre matrici di Pauli non-identità. Queste matrici hanno le seguenti decomposizioni spettrali.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Le misurazioni definite da $X,$ $Y,$ e $Z,$ viste come osservabili, sono quindi le misure proiettive definite dai seguenti insiemi di proiezioni, rispettivamente.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

In tutti e tre i casi, i due possibili risultati della misurazione sono gli autovalori $+1$ e $-1.$ Tali misurazioni sono comunemente chiamate misurazioni $X$, misurazioni $Y$ e misurazioni $Z$. Abbiamo incontrato queste misurazioni nella lezione "Misurazioni generali" di "Formulazione generale dell'informazione quantistica," dove sono emerse nel contesto della tomografia degli stati quantistici.

Naturalmente, una misurazione $Z$ è essenzialmente una misurazione nella base standard e una misurazione $X$ è una misurazione rispetto alla base più/meno di un qubit — ma, come le misurazioni sono descritte qui, stiamo prendendo gli autovalori $+1$ e $-1$ come i risultati effettivi della misurazione.

La stessa procedura può essere seguita per le operazioni di Pauli su $n\geq 2$ qubit, anche se va sottolineato che ci saranno comunque solo due possibili risultati per le misurazioni descritte in questo modo: $+1$ e $-1,$ che sono gli unici possibili autovalori delle operazioni di Pauli. Le due proiezioni corrispondenti avranno quindi rango superiore a uno in questo caso. Più precisamente, per ogni operazione di Pauli non-identità a $n$ qubit, lo spazio degli stati di dimensione $2^n$ si divide sempre in due sottospazi di autovettori di uguale dimensione, quindi le due proiezioni che definiscono la misurazione associata avranno entrambe rango $2^{n-1}.$

La misurazione descritta da un'operazione di Pauli a $n$ qubit, considerata come osservabile, non è quindi la stessa cosa di una misurazione rispetto a una base ortonormale di autovettori di quell'operazione, né è la stessa cosa di misurare indipendentemente ciascuna delle corrispondenti matrici di Pauli come osservabili su $n$ qubit. Entrambe quelle alternative richiederebbero $2^n$ possibili risultati di misurazione, ma qui abbiamo solo i due possibili risultati $+1$ e $-1.$

Ad esempio, considera l'operazione di Pauli a 2 qubit $Z\otimes Z$ come osservabile. Possiamo effettivamente prendere il prodotto tensoriale delle decomposizioni spettrali per ottenere una per il prodotto tensoriale.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Ovvero, abbiamo $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ per

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{e}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

quindi queste sono le due proiezioni che definiscono la misurazione. Se, ad esempio, dovessimo misurare in modo non distruttivo uno stato di Bell $\vert\phi^+\rangle$ con questa misurazione, saremmo certi di ottenere il risultato $+1,$ e lo stato rimarrebbe invariato a seguito della misurazione. In particolare, lo stato non collasserebbe su $\vert 00\rangle$ o $\vert 11\rangle.$

Implementazione non distruttiva tramite phase estimation

Per qualsiasi operazione di Pauli a $n$ qubit, possiamo eseguire la misurazione associata a quell'osservabile in modo non distruttivo usando la phase estimation.

Ecco un circuito basato sulla phase estimation che funziona per qualsiasi matrice di Pauli $P,$ dove la misurazione viene eseguita sul qubit in alto. I risultati $0$ e $1$ della misurazione nella base standard nel circuito corrispondono agli autovalori $+1$ e $-1,$ proprio come avviene di solito nella phase estimation con un singolo qubit di controllo. (Nota che il qubit di controllo si trova in basso in questo diagramma, mentre nella lezione "Phase estimation e fattorizzazione" di "Fondamenti degli algoritmi quantistici" i qubit di controllo erano disegnati in alto.)

Un metodo simile funziona per le operazioni di Pauli su più qubit. Ad esempio, il seguente diagramma circuitale illustra una misurazione non distruttiva dell'osservabile di Pauli a $3$ qubit $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ per qualsiasi scelta di $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Questo approccio si generalizza agli osservabili di Pauli a $n$ qubit, per qualsiasi $n,$ nel modo naturale. Naturalmente, quando si implementano tali misurazioni, è necessario includere gate a unitaria controllata solo per i fattori tensoriali non-identità degli osservabili di Pauli; i gate identità controllati sono semplicemente gate identità e possono quindi essere omessi. Ciò significa che gli osservabili di Pauli a peso minore richiedono circuito più piccoli per essere implementati con questo approccio.

Nota che, indipendentemente da $n,$ questi circuito di phase estimation hanno un solo qubit di controllo, il che è coerente con il fatto che ci sono solo due possibili risultati di misurazione per queste misurazioni. Usare più qubit di controllo non rivelerebbe informazioni aggiuntive, poiché queste misurazioni sono già perfette con un singolo qubit di controllo. (Un modo per vederlo direttamente dalla procedura generale di phase estimation: l'ipotesi $U^2 = \mathbb{I}$ rende inutili eventuali qubit di controllo aggiuntivi oltre al primo.)

Ecco un esempio specifico di implementazione non distruttiva di una misurazione $Z\otimes Z,$ rilevante per la descrizione del codice di ripetizione a 3 bit come codice stabilizzatore che vedremo a breve.

In questo caso, e più in generale per i prodotti tensoriali di più di due osservabili $Z,$ il circuito può essere semplificato.

Pertanto, questa misurazione è equivalente a misurare in modo non distruttivo la parità (o XOR) degli stati della base standard di due qubit.