Fedeltà

In questa parte della lezione parleremo della fedeltà tra stati quantistici, che è una misura della loro somiglianza — ovvero di quanto si "sovrappongono."

Dati due vettori di stato quantistico, la fedeltà tra gli stati puri associati a questi vettori è uguale al valore assoluto del prodotto interno tra i vettori stessi. Questo fornisce un modo elementare per misurare la loro somiglianza: il risultato è un valore compreso tra $0$ e $1,$ dove valori più grandi indicano una maggiore somiglianza. In particolare, il valore è zero per stati ortogonali (per definizione), mentre il valore è $1$ per stati equivalenti a meno di una fase globale.

Intuitivamente, la fedeltà può essere vista come un'estensione di questa misura elementare di somiglianza, dai vettori di stato quantistico alle matrici densità.

Definizione di fedeltà

È opportuno iniziare con una definizione di fedeltà. A prima vista, la definizione che segue potrebbe sembrare insolita o misteriosa, e forse non facile da utilizzare. La funzione che definisce, tuttavia, risulta avere molte proprietà interessanti e diverse formulazioni alternative, che la rendono molto più maneggevole di quanto possa sembrare inizialmente.

Definizione

Siano $\rho$ e $\sigma$ matrici densità che rappresentano stati quantistici dello stesso sistema. La fedeltà tra $\rho$ e $\sigma$ è definita come

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Osservazione

Sebbene questa sia una definizione comune, è altrettanto comune che la fedeltà venga definita come il quadrato della quantità qui definita, che viene poi chiamata radice della fedeltà. Nessuna delle due definizioni è giusta o sbagliata — è essenzialmente una questione di preferenza. Tuttavia, occorre sempre fare attenzione a capire o chiarire quale definizione si stia usando.

Per dare senso alla formula nella definizione, si osservi innanzitutto che $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ è una matrice semidefinita positiva:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

per $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Come tutte le matrici semidefinite positive, questa matrice semidefinita positiva ha un'unica radice quadrata semidefinita positiva, la cui traccia è la fedeltà.

Per ogni matrice quadrata $M,$ gli autovalori delle due matrici semidefinite positive $M^{\dagger} M$ e $M M^{\dagger}$ sono sempre gli stessi, e di conseguenza lo stesso vale per le radici quadrate di queste matrici. Scegliendo $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ e usando il fatto che la traccia di una matrice quadrata è la somma dei suoi autovalori, otteniamo che

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Quindi, sebbene non sia immediato dalla definizione, la fedeltà è simmetrica nei suoi due argomenti.

Fedeltà in termini della norma di traccia

Un modo equivalente per esprimere la fedeltà è tramite questa formula:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Qui compare la norma di traccia, che abbiamo incontrato nella lezione precedente nel contesto della discriminazione degli stati. La norma di traccia di una matrice $M$ (non necessariamente quadrata) può essere definita come

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

e applicando questa definizione alla matrice $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ si ottiene la formula nella definizione.

Un modo alternativo per esprimere la norma di traccia di una matrice (quadrata) $M$ è tramite questa formula.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Qui il massimo è su tutte le matrici unitarie $U$ con lo stesso numero di righe e colonne di $M.$ Applicando questa formula alla situazione in esame si rivela un'ulteriore espressione della fedeltà.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fedeltà per stati puri

Un ultimo punto sulla definizione di fedeltà: ogni stato puro è (come matrice densità) uguale alla propria radice quadrata, il che consente di semplificare notevolmente la formula della fedeltà quando uno o entrambi gli stati sono puri. In particolare, se uno dei due stati è puro si ha la seguente formula.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Se entrambi gli stati sono puri, la formula si semplifica nel valore assoluto del prodotto interno dei corrispondenti vettori di stato quantistico, come menzionato all'inizio della sezione.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Proprietà fondamentali della fedeltà

La fedeltà ha molte proprietà notevoli e diverse formulazioni alternative. Ecco alcune proprietà fondamentali elencate senza dimostrazione.

1. Per qualsiasi coppia di matrici densità $\rho$ e $\sigma$ della stessa dimensione, la fedeltà $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ è compresa tra zero e uno: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Si ha $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ se e solo se $\rho$ e $\sigma$ hanno immagini ortogonali (e quindi possono essere discriminate senza errore), e $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ se e solo se $\rho = \sigma.$
2. La fedeltà è moltiplicativa, nel senso che la fedeltà tra due stati prodotto è uguale al prodotto delle singole fedeltà: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. La fedeltà tra stati non decresce sotto l'azione di qualsiasi canale. Cioè, se $\rho$ e $\sigma$ sono matrici densità e $\Phi$ è un canale che può ricevere questi due stati in ingresso, allora vale necessariamente $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Le disuguaglianze di Fuchs-van de Graaf stabiliscono una relazione stretta (sebbene non esatta) tra fedeltà e distanza di traccia: per qualsiasi coppia di stati $\rho$ e $\sigma$ si ha $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

L'ultima proprietà può essere espressa sotto forma di figura:

Più precisamente, per qualsiasi scelta di stati $\rho$ e $\sigma$ dello stesso sistema, la retta orizzontale che attraversa l'asse $y$ in $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ e la retta verticale che attraversa l'asse $x$ in $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ devono intersecarsi all'interno della regione grigia delimitata in basso dalla retta $y = 1-x$ e in alto dalla circonferenza unitaria. La zona più interessante di questa figura dal punto di vista pratico è l'angolo in alto a sinistra della regione grigia: se la fedeltà tra due stati è vicina a uno, allora la loro distanza di traccia è vicina a zero, e viceversa.

Lemma della misurazione delicata

Passiamo ora a un fatto semplice ma importante, noto come lemma della misurazione delicata (gentle measurement lemma), che collega la fedeltà alle misurazioni non distruttive. È un lemma molto utile che ricorre di tanto in tanto, ed è anche degno di nota perché la definizione apparentemente macchinosa della fedeltà rende il lemma molto facile da dimostrare.

La configurazione è la seguente. Sia $\mathsf{X}$ un sistema nello stato $\rho$ e sia $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ una collezione di matrici semidefinite positive che rappresenta una misurazione generale di $\mathsf{X}.$ Supponiamo inoltre che, se questa misurazione viene eseguita sul sistema $\mathsf{X}$ mentre si trova nello stato $\rho,$ uno degli esiti sia molto probabile. Per concretezza, assumiamo che l'esito probabile sia $0,$ e in particolare assumiamo che

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

per un piccolo numero reale positivo $\varepsilon > 0.$

Ciò che il lemma della misurazione delicata afferma è che, sotto queste ipotesi, la misurazione non distruttiva ottenuta da $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ tramite il teorema di Naimark provoca solo una piccola perturbazione a $\rho$ nel caso in cui si osservi l'esito probabile $0.$

Più precisamente, il lemma afferma che il quadrato della fedeltà tra $\rho$ e lo stato ottenuto dalla misurazione non distruttiva, condizionato all'esito $0,$ è maggiore di $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Per dimostrare questo risultato ci serve un fatto elementare sulle misurazioni. Le matrici di misurazione $P_0, \ldots, P_{m-1}$ sono semidefinite positive e la loro somma è l'identità, il che ci permette di concludere che tutti gli autovalori di $P_0$ sono numeri reali compresi tra $0$ e $1.$ Questo segue dal fatto che, per qualsiasi vettore unitario $\vert\psi\rangle,$ il valore $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ è un numero reale non negativo per ogni $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (poiché ogni $P_a$ è semidefinita positiva), insieme al fatto che questi numeri sommano a uno.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Quindi $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ è sempre un numero reale tra $0$ e $1,$ e ciò implica che ogni autovalore di $P_0$ è un numero reale tra $0$ e $1,$ poiché possiamo scegliere $\vert\psi\rangle$ come vettore unitario autovettore corrispondente a qualsiasi autovalore di interesse.

Da questa osservazione possiamo concludere la seguente disuguaglianza per ogni matrice densità $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

In dettaglio, partendo da una decomposizione spettrale

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

concludiamo che

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

dal fatto che $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ è un numero reale non negativo e $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ per ogni $k = 0,\ldots,n-1.$ (Elevare al quadrato numeri tra $0$ e $1$ non può renderli più grandi.)

Ora possiamo dimostrare il lemma della misurazione delicata calcolando la fedeltà e poi usando la nostra disuguaglianza. Prima di tutto, semplifichiamo l'espressione che ci interessa.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Si noti che queste sono tutte uguaglianze — non abbiamo ancora usato la nostra disuguaglianza (né alcun'altra disuguaglianza), quindi abbiamo un'espressione esatta per la fedeltà. Possiamo ora usare la nostra disuguaglianza per concludere

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

e quindi, elevando al quadrato entrambi i membri,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorema di Uhlmann

Per concludere la lezione, esamineremo il teorema di Uhlmann, che è un fatto fondamentale sulla fedeltà che la collega alla nozione di purificazione. Ciò che il teorema afferma, in termini semplici, è che la fedeltà tra due stati quantistici qualsiasi è uguale al massimo prodotto interno (in valore assoluto) tra due purificazioni di quegli stati.

Teorema

Teorema di Uhlmann: siano $\rho$ e $\sigma$ matrici densità che rappresentano stati di un sistema $\mathsf{X},$ e sia $\mathsf{Y}$ un sistema con almeno tanti stati classici quanti ne ha $\mathsf{X}.$ La fedeltà tra $\rho$ e $\sigma$ è data da

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

dove il massimo è preso su tutti i vettori di stato quantistico $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle$ di $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Possiamo dimostrare questo teorema usando l'equivalenza unitaria delle purificazioni — ma non è del tutto immediato e faremo uso di un trucco lungo la strada.

Per iniziare, consideriamo le decomposizioni spettrali delle due matrici densità $\rho$ e $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Le due collezioni $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ e $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ sono basi ortonormali di autovettori di $\rho$ e $\sigma,$ rispettivamente, e $p_0,\ldots,p_{n-1}$ e $q_0,\ldots,q_{n-1}$ sono i corrispondenti autovalori.

Definiamo anche $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ e $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ come i vettori ottenuti prendendo il complesso coniugato di ogni componente di $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ e $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ Cioè, per un vettore arbitrario $\vert w\rangle$ possiamo definire $\vert\overline{w}\rangle$ secondo la seguente equazione per ogni $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Si noti che per qualsiasi coppia di vettori $\vert u\rangle$ e $\vert v\rangle$ si ha $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Più in generale, per qualsiasi matrice quadrata $M$ vale la seguente formula.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Ne segue che $\vert u\rangle$ e $\vert v\rangle$ sono ortogonali se e solo se $\vert \overline{u}\rangle$ e $\vert \overline{v}\rangle$ sono ortogonali, e quindi $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ e $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ sono entrambe basi ortonormali.

Consideriamo ora i seguenti due vettori $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle,$ che sono purificazioni rispettivamente di $\rho$ e $\sigma.$

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Questo è il trucco menzionato in precedenza. Nulla indica esplicitamente a questo punto che sia una buona idea fare queste particolari scelte per le purificazioni di $\rho$ e $\sigma,$ ma sono purificazioni valide, e le coniugazioni complesse consentiranno all'algebra di funzionare nel modo che ci serve.

Per l'equivalenza unitaria delle purificazioni, sappiamo che ogni purificazione di $\rho$ per la coppia di sistemi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ deve avere la forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ per qualche matrice unitaria $U,$ e analogamente ogni purificazione di $\sigma$ per la coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ deve avere la forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ per qualche matrice unitaria $V.$ Il prodotto interno di due tali purificazioni può essere semplificato come segue.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Al variare di $U$ e $V$ su tutte le matrici unitarie possibili, la matrice $(U^{\dagger} V)^T$ varia anch'essa su tutte le matrici unitarie possibili. Quindi, massimizzando il valore assoluto del prodotto interno di due purificazioni di $\rho$ e $\sigma$ si ottiene la seguente equazione.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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