Altre famiglie di codici

Sono passati più di 25 anni dalla scoperta del codice torico, e da allora la ricerca sui codici quantistici correttori di errori è stata intensa: sono emersi altri codici quantistici topologici ispirati al codice torico, oltre a codici basati su idee diverse. Sarebbe impossibile includere qui un elenco completo di tutte le costruzioni di codici correttori di errori quantistici note — ma ci limiteremo a scalfire la superficie esaminando brevemente un paio di esempi di rilievo.

Codici superficie

Come si è scoperto, non è strettamente necessario che il codice torico abbia confini periodici. In altre parole, è possibile ritagliare solo una porzione del codice torico e distenderla su una superficie bidimensionale, anziché su un toro, per ottenere un codice correttore di errori quantistici — a patto che i generatori degli stabilizzatori sui bordi siano definiti correttamente. Il risultato è chiamato codice superficie.

Per esempio, ecco un diagramma di un codice superficie, in cui il reticolo è tagliato con i cosiddetti bordi grezzi in alto e in basso e bordi lisci ai lati. I casi limite per i generatori degli stabilizzatori sono definiti in modo naturale: le operazioni di Pauli sui qubit "mancanti" vengono semplicemente omesse.

I codici superficie di questa forma codificano un singolo qubit, anziché due come il codice torico. In questo caso i generatori degli stabilizzatori formano già un insieme generatore minimale, senza bisogno di rimuoverne uno per tipo come nel codice torico. Nonostante queste differenze, le caratteristiche importanti del codice torico vengono ereditate. In particolare, gli errori non banali non rilevati per questo codice corrispondono a catene di errori che si estendono dal bordo sinistro al bordo destro (per catene di errori $X$) oppure dall'alto verso il basso (per catene di errori $Z$).

È anche possibile tagliare i bordi di un codice superficie in diagonale per ottenere i cosiddetti codici superficie ruotati, così denominati non perché i codici siano ruotati in senso significativo, ma perché i diagrammi sono ruotati (di 45 gradi). Per esempio, ecco un diagramma di un codice superficie ruotato con distanza 5.

In questo tipo di diagramma, le tessere nere (comprese quelle arrotondate sui bordi) indicano i generatori degli stabilizzatori $X$, dove le operazioni $X$ sono applicate ai (due o quattro) vertici di ciascuna tessera, mentre le tessere bianche rappresentano i generatori degli stabilizzatori $Z$. I codici superficie ruotati hanno proprietà simili ai codici superficie (non ruotati), ma sono più efficienti in termini di numero di qubit utilizzati.

Codici colore

I codici colore sono un'altra interessante classe di codici, che rientrano anch'essi nella categoria generale dei codici quantistici topologici. Verranno descritti solo brevemente in questa sede.

Un modo per pensare ai codici colore è vederli come generalizzazioni geometriche del codice di Steane a 7 qubit. Con questo in mente, consideriamo di nuovo il codice di Steane a 7 qubit, e supponiamo che i sette qubit siano denominati e ordinati secondo la convenzione di numerazione di Qiskit come $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ Ricordiamo che i generatori degli stabilizzatori per questo codice sono i seguenti.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Se associamo questi sette qubit ai vertici del grafo seguente, scopriamo che i generatori degli stabilizzatori corrispondono esattamente alle facce formate dagli spigoli del grafo.

Ovvero, per ogni faccia esiste sia un generatore di stabilizzatore $Z$ sia un generatore di stabilizzatore $X$ che agiscono in modo non banale sui qubit corrispondenti ai vertici di quella faccia. Il codice di Steane a 7 qubit possiede quindi località geometrica, per cui in linea di principio non è necessario spostare i qubit su grandi distanze per misurare i generatori degli stabilizzatori. Il fatto che i generatori degli stabilizzatori $Z$ e $X$ agiscano sempre in modo non banale su esattamente gli stessi insiemi di qubit è anche un vantaggio legato al calcolo quantistico fault-tolerant, che è l'argomento della prossima lezione.

I codici colore sono codici correttori di errori quantistici (codici CSS, per essere più precisi) che generalizzano questo schema di base, con la differenza che i grafi sottostanti possono essere diversi. Per esempio, ecco un grafo con 19 vertici che funziona. Definisce un codice che codifica un qubit in 19 qubit e ha distanza 5 (ovvero, è un codice stabilizzatore $[[19,1,5]]$).

Ciò è possibile con molti altri grafi, incluse famiglie di grafi che crescono in dimensione e presentano strutture interessanti.

I codici colore prendono il loro nome dal fatto che una delle condizioni richieste sui grafi che li definiscono è che le facce siano colorabili con tre colori, il che significa che a ciascuna faccia può essere assegnato uno dei tre colori in modo tale che nessune due facce dello stesso colore condividano uno spigolo (come nel diagramma precedente). I colori non hanno importanza per la definizione del codice in sé — esistono sempre generatori di stabilizzatori $Z$ e $X$ per ogni faccia, indipendentemente dal suo colore — ma i colori sono importanti per analizzare il funzionamento dei codici.

Altri codici

La correzione degli errori quantistici è un'area di ricerca attiva e in rapida evoluzione. Chi desidera approfondire può consultare l'Error Correction Zoo, che elenca numerosi esempi e categorizzazioni di codici correttori di errori quantistici.

Esempio: il gross code

Il gross code è un codice stabilizzatore $[[144,12,12]]$ scoperto di recente. È simile al codice torico, con la differenza che ogni generatore degli stabilizzatori agisce in modo non banale su due qubit aggiuntivi, leggermente più lontani dalla tessera o dal vertice di quel generatore (quindi ogni generatore degli stabilizzatori ha peso 6). Il vantaggio di questo codice è che può codificare 12 qubit, rispetto ai soli due del codice torico.