Codifica superdensa

La codifica superdensa è un protocollo che, in un certo senso, persegue uno scopo complementare a quello della teleportazione. Invece di consentire la trasmissione di un qubit usando due bit classici di comunicazione (al costo di un e-bit di entanglement), permette la trasmissione di due bit classici usando un qubit di comunicazione quantistica (sempre al costo di un e-bit di entanglement).

In dettaglio, abbiamo un mittente (Alice) e un destinatario (Bob) che condividono un e-bit di entanglement. Secondo le convenzioni adottate nella lezione, questo significa che Alice possiede un qubit $\mathsf{A},$ Bob possiede un qubit $\mathsf{B},$ e insieme la coppia $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ si trova nello stato $\vert\phi^+\rangle.$ Alice desidera trasmettere due bit classici a Bob, che indicheremo con $c$ e $d,$ e lo farà inviandogli un qubit.

È ragionevole ritenere questa impresa meno interessante di ciò che realizza la teleportazione. L'invio di qubit sarà probabilmente molto più difficile rispetto all'invio di bit classici per il prevedibile futuro, tanto che scambiare un qubit di comunicazione quantistica con due bit di comunicazione classica, per di più al costo di un e-bit, sembra difficilmente conveniente. Tuttavia, questo non implica che la codifica superdensa non sia interessante, perché lo è assolutamente.

In linea con il tema della lezione, uno dei motivi per cui la codifica superdensa è interessante è che dimostra un uso concreto e (nel contesto della teoria dell'informazione) piuttosto sorprendente dell'entanglement. Un famoso teorema nella teoria dell'informazione quantistica, noto come teorema di Holevo, implica che senza l'uso di uno stato entangled condiviso, è impossibile comunicare più di un bit di informazione classica inviando un singolo qubit. (Il teorema di Holevo è più generale di questo. Il suo enunciato preciso è tecnico e richiede una spiegazione, ma questa è una delle sue conseguenze.) Quindi, attraverso la codifica superdensa, l'entanglement condiviso consente effettivamente il raddoppio della capacità di trasportare informazione classica nell'invio di qubit.

Protocollo

Il seguente diagramma di circuito quantistico descrive il protocollo di codifica superdensa:

A parole, ecco cosa fa Alice:

1. Se $d=1,$ Alice applica un gate $Z$ al suo qubit $\mathsf{A}$ (e se $d=0$ non fa nulla).

2. Se $c=1,$ Alice applica un gate $X$ al suo qubit $\mathsf{A}$ (e se $c=0$ non fa nulla).

Alice invia quindi il suo qubit $\mathsf{A}$ a Bob.

Quando Bob riceve il qubit $\mathsf{A},$ applica prima un gate NOT controllato, con $\mathsf{A}$ come controllo e $\mathsf{B}$ come target, e poi applica un gate di Hadamard ad $\mathsf{A}.$ Misura quindi $\mathsf{B}$ per ottenere $c$ e $\mathsf{A}$ per ottenere $d,$ usando misure nella base standard in entrambi i casi.

Analisi

L'idea alla base di questo protocollo è abbastanza semplice: Alice sceglie effettivamente quale stato di Bell desidera condividere con Bob, invia a Bob il suo qubit, e Bob misura per determinare quale stato di Bell Alice ha scelto.

In altre parole, inizialmente condividono $\vert\phi^+\rangle,$ e a seconda dei bit $c$ e $d,$ Alice lascia questo stato invariato oppure lo sposta verso uno degli altri stati di Bell applicando $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ o $XZ$ al suo qubit $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Le azioni di Bob hanno i seguenti effetti sui quattro stati di Bell:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Questo può essere verificato direttamente, calcolando i risultati delle operazioni di Bob su questi stati uno alla volta.

Quindi, quando Bob esegue le sue misure, è in grado di determinare quale stato di Bell Alice ha scelto. Verificare che il protocollo funzioni correttamente significa controllare ogni caso:

• Se $cd = 00,$ allora lo stato di $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob riceve $\mathsf{A}$ è $\vert \phi^+\rangle.$ Trasforma questo stato in $\vert 00\rangle$ e ottiene $cd = 00.$

• Se $cd = 01,$ allora lo stato di $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob riceve $\mathsf{A}$ è $\vert \phi^-\rangle.$ Trasforma questo stato in $\vert 01\rangle$ e ottiene $cd = 01.$

• Se $cd = 10,$ allora lo stato di $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob riceve $\mathsf{A}$ è $\vert \psi^+\rangle.$ Trasforma questo stato in $\vert 10\rangle$ e ottiene $cd = 10.$

• Se $cd = 11,$ allora lo stato di $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ quando Bob riceve $\mathsf{A}$ è $\vert \psi^-\rangle.$ Trasforma questo stato in $-\vert 11\rangle$ e ottiene $cd = 11.$ (Il fattore di fase negativo non ha alcun effetto qui.)