Informazione quantistica

Siamo ora pronti per passare all'informazione quantistica, dove facciamo una scelta diversa per il tipo di vettore che rappresenta uno stato — in questo caso uno stato quantistico — del sistema considerato. Come nella discussione precedente sull'informazione classica, ci occuperemo di sistemi aventi insiemi finiti e non vuoti di stati classici, e utilizzeremo gran parte della stessa notazione.

Vettori di stato quantistico

Uno stato quantistico di un sistema è rappresentato da un vettore colonna, simile a uno stato probabilistico. Come prima, gli indici del vettore etichettano gli stati classici del sistema. I vettori che rappresentano stati quantistici sono caratterizzati da queste due proprietà:

1. Le componenti di un vettore di stato quantistico sono numeri complessi.
2. La somma dei quadrati dei valori assoluti delle componenti di un vettore di stato quantistico è $1.$

Pertanto, a differenza degli stati probabilistici, i vettori che rappresentano stati quantistici non devono necessariamente avere componenti reali non negative, ed è la somma dei quadrati dei valori assoluti delle componenti (anziché la somma delle componenti stesse) che deve essere uguale a $1.$ Per quanto semplici siano questi cambiamenti, essi sono all'origine delle differenze tra informazione quantistica e classica; qualsiasi accelerazione derivante da un computer quantistico, o miglioramento derivante da un protocollo di comunicazione quantistica, è in ultima analisi riconducibile a questi semplici cambiamenti matematici.

La norma euclidea di un vettore colonna

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

è denotata e definita come segue:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

La condizione che la somma dei quadrati dei valori assoluti di un vettore di stato quantistico sia uguale a $1$ è quindi equivalente al fatto che tale vettore abbia norma euclidea uguale a $1.$ Ovvero, i vettori di stato quantistico sono vettori unitari rispetto alla norma euclidea.

Esempi di stati di qubit

Il termine qubit si riferisce a un sistema quantistico il cui insieme di stati classici è $\{0,1\}.$ Cioè, un qubit è essenzialmente un bit — ma usando questo nome riconosciamo esplicitamente che questo bit può trovarsi in uno stato quantistico.

Questi sono esempi di stati quantistici di un qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

e

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

I primi due esempi, $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle,$ illustrano che gli elementi della base standard sono validi vettori di stato quantistico: le loro componenti sono numeri complessi, dove la parte immaginaria di questi numeri è sempre $0,$ e il calcolo della somma dei quadrati dei valori assoluti delle componenti dà

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{e}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

come richiesto. In modo analogo al contesto classico, associamo i vettori di stato quantistico $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle$ rispettivamente a un qubit che si trova nello stato classico $0$ e $1.$

Per gli altri due esempi, abbiamo di nuovo componenti numeriche complesse, e il calcolo della somma dei quadrati dei valori assoluti delle componenti dà

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

e

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Si tratta quindi di validi vettori di stato quantistico. Nota che sono combinazioni lineari degli stati della base standard $\vert 0 \rangle$ e $\vert 1 \rangle,$ e per questo motivo diciamo spesso che sono sovrapposizioni degli stati $0$ e $1.$ Nel contesto degli stati quantistici, sovrapposizione e combinazione lineare sono essenzialmente sinonimi.

L'esempio $(1)$ di vettore di stato qubit riportato sopra è molto comune — si chiama stato più ed è denotato come segue:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Usiamo anche la notazione

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

per riferirci a un vettore di stato quantistico correlato in cui la seconda componente è negativa anziché positiva, e chiamiamo questo stato lo stato meno.

Questo tipo di notazione, in cui all'interno di un ket compare un simbolo diverso da quello di uno stato classico, è comune — possiamo usare qualsiasi nome all'interno di un ket per nominare un vettore. È molto comune usare la notazione $\vert\psi\rangle,$ o un nome diverso al posto di $\psi,$ per riferirsi a un vettore arbitrario che non è necessariamente un vettore della base standard.

Nota che, se abbiamo un vettore $\vert \psi \rangle$ i cui indici corrispondono a un insieme di stati classici $\Sigma,$ e se $a\in\Sigma$ è un elemento di questo insieme di stati classici, allora il prodotto matriciale $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ è uguale alla componente del vettore $\vert \psi \rangle$ il cui indice corrisponde ad $a.$ Come facevamo quando $\vert \psi \rangle$ era un vettore della base standard, scriviamo $\langle a \vert \psi \rangle$ anziché $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ per maggiore leggibilità.

Ad esempio, se $\Sigma = \{0,1\}$ e

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

allora

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{e}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

In generale, quando si usa la notazione di Dirac per vettori arbitrari, la notazione $\langle \psi \vert$ si riferisce al vettore riga ottenuto calcolando il trasposto coniugato del vettore colonna $\vert\psi\rangle,$ ovvero il vettore trasposto da colonna a riga in cui ogni componente è sostituita dal suo complesso coniugato. Ad esempio, se $\vert\psi\rangle$ è il vettore definito in $(2),$ allora

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Il motivo per cui si prende il complesso coniugato, oltre alla trasposizione, sarà chiarito più avanti quando discuteremo i prodotti interni.

Stati quantistici di altri sistemi

Possiamo considerare stati quantistici di sistemi con insiemi di stati classici arbitrari. Ad esempio, ecco un vettore di stato quantistico per un interruttore di un ventilatore elettrico:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{alto}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{basso}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{spento}\rangle.$$

Il presupposto qui è che gli stati classici siano ordinati come alto, medio, basso, spento. Potrebbe non esserci un motivo particolare per cui si voglia considerare uno stato quantistico di un interruttore di un ventilatore elettrico, ma è possibile in linea di principio.

Ecco un altro esempio, questa volta di una cifra decimale quantistica i cui stati classici sono $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Questo esempio illustra la comodità di scrivere vettori di stato usando la notazione di Dirac. Per questo particolare esempio, la rappresentazione tramite vettore colonna è semplicemente scomoda — ma se gli stati classici fossero significativamente di più, diventerebbe inutilizzabile. La notazione di Dirac, al contrario, consente descrizioni precise di vettori grandi e complessi in forma compatta.

La notazione di Dirac permette anche di esprimere vettori in cui diversi aspetti sono indeterminati, ovvero sconosciuti o non ancora stabiliti. Ad esempio, per un insieme di stati classici arbitrario $\Sigma,$ possiamo considerare il vettore di stato quantistico

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

dove la notazione $\sqrt{|\Sigma|}$ si riferisce alla norma euclidea di $\Sigma,$ e $\vert\Sigma\vert$ in questo caso è semplicemente il numero di elementi in $\Sigma.$ In parole, questa è una sovrapposizione uniforme sugli stati classici in $\Sigma.$

Incontreremo espressioni molto più complesse di vettori di stato quantistico nelle lezioni successive, dove l'uso di vettori colonna sarebbe impraticabile o impossibile. Anzi, abbandoneremo quasi completamente la rappresentazione mediante vettori colonna degli stati, eccetto per vettori con un numero ridotto di componenti (spesso nel contesto di esempi), dove può essere utile visualizzare ed esaminare le componenti esplicitamente.

Ecco un altro motivo per cui esprimere i vettori di stato con la notazione di Dirac è conveniente: allevia la necessità di specificare esplicitamente un ordinamento degli stati classici (o, equivalentemente, la corrispondenza tra stati classici e indici del vettore).

Ad esempio, un vettore di stato quantistico per un sistema con insieme di stati classici $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ come

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

è descritto in modo non ambiguo da questa espressione, e non vi è alcuna reale necessità di scegliere o specificare un ordinamento di questo insieme di stati classici per interpretare l'espressione. In questo caso, non è difficile specificare un ordinamento dei semi delle carte standard — per esempio, potremmo scegliere di ordinarli così: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Se scegliamo questo particolare ordinamento, il vettore di stato quantistico di cui sopra sarebbe rappresentato dal vettore colonna

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

In generale, tuttavia, è conveniente poter semplicemente ignorare la questione di come siano ordinati gli insiemi di stati classici.

Misurare gli stati quantistici

Consideriamo ora cosa accade quando uno stato quantistico viene misurato, concentrandoci su un tipo semplice di misura noto come misura nella base standard. (Esistono nozioni più generali di misura che discuteremo in seguito.)

Analogamente al contesto probabilistico, quando un sistema in uno stato quantistico viene misurato, l'osservatore ipotetico che esegue la misura non vedrà un vettore di stato quantistico, ma vedrà piuttosto uno stato classico. In questo senso, le misure fungono da interfaccia tra informazione quantistica e classica, attraverso cui l'informazione classica viene estratta dagli stati quantistici.

La regola è semplice: se uno stato quantistico viene misurato, ogni stato classico del sistema appare con probabilità uguale al quadrato del valore assoluto della componente del vettore di stato quantistico corrispondente a quello stato classico. Questa è nota come regola di Born in meccanica quantistica. Nota che questa regola è coerente con il requisito che i quadrati dei valori assoluti delle componenti di un vettore di stato quantistico sommino a $1,$ poiché implica che le probabilità dei diversi esiti di misura degli stati classici sommino a $1.$

Ad esempio, misurare lo stato più

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

dà i due possibili esiti, $0$ e $1,$ con le seguenti probabilità.

$$\operatorname{Pr}(\text{il risultato è 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{il risultato è 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

È interessante notare che misurare lo stato meno

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

dà esattamente le stesse probabilità per i due esiti.

$$\operatorname{Pr}(\text{il risultato è 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{il risultato è 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Questo suggerisce che, per quanto riguarda le misure nella base standard, gli stati più e meno non sono diversi. Perché, allora, dovremmo fare una distinzione tra di loro? La risposta è che questi due stati si comportano diversamente quando vengono eseguite operazioni su di essi, come discuteremo nella prossima sottosezione.

Naturalmente, misurare lo stato quantistico $\vert 0\rangle$ produce lo stato classico $0$ con certezza, e analogamente misurare lo stato quantistico $\vert 1\rangle$ produce lo stato classico $1$ con certezza. Questo è coerente con l'identificazione di questi stati quantistici con il sistema che si trova nello stato classico corrispondente, come suggerito in precedenza.

Come esempio finale, misurare lo stato

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

fa apparire i due possibili esiti con le seguenti probabilità:

$$\operatorname{Pr}(\text{il risultato è 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

e

$$\operatorname{Pr}(\text{il risultato è 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operazioni unitarie

Finora, potrebbe non essere evidente perché l'informazione quantistica sia fondamentalmente diversa da quella classica. Ovvero, quando uno stato quantistico viene misurato, la probabilità di ottenere ogni stato classico è data dal quadrato del valore assoluto della corrispondente componente del vettore — quindi perché non registrare semplicemente queste probabilità in un vettore di probabilità?

La risposta, almeno in parte, è che l'insieme delle operazioni ammissibili che possono essere eseguite su uno stato quantistico è diverso rispetto all'informazione classica. Analogamente al contesto probabilistico, le operazioni sugli stati quantistici sono applicazioni lineari — ma invece di essere rappresentate da matrici stocastiche, come nel caso classico, le operazioni sui vettori di stato quantistico sono rappresentate da matrici unitarie.

Una matrice quadrata $U$ con componenti numeriche complesse è unitaria se soddisfa le equazioni

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Qui, $\mathbb{I}$ è la matrice identità, e $U^{\dagger}$ è il trasposto coniugato di $U,$ ovvero la matrice ottenuta traspondo $U$ e prendendo il complesso coniugato di ogni componente.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Se una qualsiasi delle due uguaglianze numerate $(3)$ sopra è vera, allora anche l'altra deve essere vera. Entrambe le uguaglianze sono equivalenti al fatto che $U^{\dagger}$ sia l'inversa di $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Attenzione: se $M$ non è una matrice quadrata, potrebbe accadere che $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ e $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ ad esempio. L'equivalenza delle due uguaglianze nella prima equazione sopra vale solo per le matrici quadrate.)

La condizione che $U$ sia unitaria è equivalente alla condizione che la moltiplicazione per $U$ non cambi la norma euclidea di nessun vettore. Ovvero, una matrice $n\times n$ $U$ è unitaria se e solo se $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ per ogni vettore colonna $n$-dimensionale $\vert \psi \rangle$ con componenti numeriche complesse. Pertanto, poiché l'insieme di tutti i vettori di stato quantistico coincide con l'insieme dei vettori con norma euclidea uguale a $1,$ moltiplicare una matrice unitaria per un vettore di stato quantistico dà un altro vettore di stato quantistico.

Infatti, le matrici unitarie sono esattamente l'insieme delle applicazioni lineari che trasformano sempre i vettori di stato quantistico in altri vettori di stato quantistico. Nota qui una somiglianza con il caso probabilistico classico, in cui le operazioni sono associate a matrici stocastiche, che sono quelle che trasformano sempre i vettori di probabilità in vettori di probabilità.

Esempi di operazioni unitarie sui qubit

Il seguente elenco descrive alcune operazioni unitarie comunemente incontrate sui qubit.

1. Operazioni di Pauli. Le quattro matrici di Pauli sono le seguenti:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Una notazione alternativa comune è $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ e $Z = \sigma_z$ (ma tieni presente che le lettere $X,$ $Y,$ e $Z$ sono anche comunemente usate per altri scopi). L'operazione $X$ è anche chiamata bit flip o operazione NOT perché induce questa azione sui bit:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{e} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   L'operazione $Z$ è anche chiamata phase flip, e ha questa azione:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{e} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operazione di Hadamard. L'operazione di Hadamard è descritta da questa matrice:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operazioni di fase. Un'operazione di fase è quella descritta dalla matrice

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   per qualsiasi scelta di un numero reale $\theta.$ Le operazioni

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   sono esempi particolarmente importanti. Altri esempi includono $\mathbb{I} = P_0$ e $Z = P_{\pi}.$

Tutte le matrici appena definite sono unitarie, e quindi rappresentano operazioni quantistiche su un singolo qubit. Ad esempio, ecco un calcolo che verifica che $H$ è unitaria:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ed ecco l'azione dell'operazione di Hadamard su alcuni vettori di stato qubit comunemente incontrati.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

In modo più sintetico, otteniamo queste quattro equazioni.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Vale la pena soffermarsi sul fatto che $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ e $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ alla luce della domanda suggerita nella sezione precedente riguardo alla distinzione tra gli stati $\vert {+} \rangle$ e $\vert {-} \rangle.$

Immagina una situazione in cui un qubit viene preparato in uno dei due stati quantistici $\vert {+} \rangle$ e $\vert {-} \rangle,$ ma in cui non sappiamo quale dei due sia. Misurare uno qualsiasi dei due stati produce la stessa distribuzione di output dell'altro, come abbiamo già osservato: $0$ e $1$ appaiono entrambi con uguale probabilità $1/2,$ il che non fornisce alcuna informazione su quale dei due stati sia stato preparato.

Tuttavia, se applichiamo prima un'operazione di Hadamard e poi misuriamo, otteniamo l'esito $0$ con certezza se lo stato originale era $\vert {+} \rangle,$ e otteniamo l'esito $1,$ di nuovo con certezza, se lo stato originale era $\vert {-} \rangle.$ Gli stati quantistici $\vert {+} \rangle$ e $\vert {-} \rangle$ possono quindi essere discriminati perfettamente. Questo rivela che i cambiamenti di segno, o più in generale i cambiamenti nelle fasi (che sono anche tradizionalmente chiamate argomenti) delle componenti numeriche complesse di un vettore di stato quantistico, possono cambiare significativamente quello stato.

Ecco un altro esempio, che mostra come un'operazione di Hadamard agisce su un vettore di stato menzionato in precedenza.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Consideriamo ora l'azione di un'operazione $T$ su uno stato più.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Nota che qui non abbiamo convertito nelle forme equivalenti matrice/vettore, ma abbiamo invece usato la linearità della moltiplicazione matriciale insieme alle formule

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{e}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

In modo analogo, possiamo calcolare il risultato dell'applicazione di un'operazione di Hadamard al vettore di stato quantistico appena ottenuto:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

I due approcci — uno in cui convertiamo esplicitamente nelle rappresentazioni matriciali e l'altro in cui utilizziamo la linearità e sostituiamo le azioni di un'operazione sugli stati della base standard — sono equivalenti. Possiamo usare quello più conveniente nel caso in esame.

Composizioni di operazioni unitarie sui qubit

Le composizioni di operazioni unitarie sono rappresentate dalla moltiplicazione matriciale, proprio come nel contesto probabilistico.

Ad esempio, supponiamo di applicare prima un'operazione di Hadamard, seguita da un'operazione $S,$ seguita da un'altra operazione di Hadamard. L'operazione risultante, che chiameremo $R$ per questo esempio, è la seguente:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Questa operazione unitaria $R$ è un esempio interessante. Applicando questa operazione due volte, il che equivale a elevare al quadrato la sua rappresentazione matriciale, si ottiene un'operazione NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ovvero, $R$ è un'operazione radice quadrata del NOT. Un tale comportamento, in cui la stessa operazione viene applicata due volte per ottenere un'operazione NOT, non è possibile per un'operazione classica su un singolo bit.

Operazioni unitarie su sistemi più grandi

Nelle lezioni successive, vedremo molti esempi di operazioni unitarie su sistemi con più di due stati classici. Un esempio di operazione unitaria su un sistema con tre stati classici è dato dalla seguente matrice.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Supponendo che gli stati classici del sistema siano $0,$ $1,$ e $2,$ possiamo descrivere questa operazione come addizione modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{e}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

La matrice $A$ è un esempio di matrice di permutazione, ovvero una matrice in cui ogni riga e ogni colonna contiene esattamente un $1.$ Tali matrici si limitano a riorganizzare, o permutare, le componenti dei vettori su cui agiscono. La matrice identità è forse l'esempio più semplice di matrice di permutazione, e un altro esempio è l'operazione NOT su un bit o qubit. Ogni matrice di permutazione, in qualsiasi dimensione intera positiva, è unitaria. Questi sono gli unici esempi di matrici che rappresentano sia operazioni classiche che quantistiche: una matrice è sia stocastica che unitaria se e solo se è una matrice di permutazione.

Un altro esempio di matrice unitaria, questa volta una matrice $4\times 4,$ è la seguente:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Questa matrice descrive un'operazione nota come trasformata di Fourier quantistica, specificamente nel caso $4\times 4.$ La trasformata di Fourier quantistica può essere definita in modo più generale, per qualsiasi dimensione intera positiva $n,$ e svolge un ruolo chiave negli algoritmi quantistici.