Informazione quantistica

Siamo ora pronti ad affrontare l'informazione quantistica nel contesto dei sistemi multipli. Come nella lezione precedente sui sistemi singoli, la descrizione matematica dell'informazione quantistica per i sistemi multipli è molto simile al caso probabilistico e utilizza concetti e tecniche analoghi.

Stati quantistici

Più sistemi possono essere considerati collettivamente come un unico sistema composito. Lo abbiamo già osservato nel caso probabilistico, e il caso quantistico è analogo. Gli stati quantistici di sistemi multipli sono quindi rappresentati da vettori colonna con entrate complesse e norma euclidea uguale a $1,$ proprio come gli stati quantistici dei sistemi singoli. Nel caso dei sistemi multipli, le entrate di questi vettori sono messe in corrispondenza con il prodotto cartesiano degli insiemi di stati classici associati a ciascuno dei sistemi individuali, poiché questo è l'insieme di stati classici del sistema composito.

Per esempio, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sono qubit, allora l'insieme di stati classici della coppia di qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ considerata collettivamente come un unico sistema, è il prodotto cartesiano $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Rappresentando le coppie di valori binari come stringhe binarie di lunghezza due, associamo questo prodotto cartesiano all'insieme $\{00,01,10,11\}.$ I seguenti vettori sono quindi tutti esempi di vettori di stato quantistico della coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{e} \quad \vert 01 \rangle.$$

Esistono varianti nel modo in cui i vettori di stato quantistico di sistemi multipli vengono espressi, e possiamo scegliere quella che preferiamo. Ecco alcuni esempi per il primo vettore di stato quantistico qui sopra.

1. Possiamo sfruttare il fatto che $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (per qualsiasi stato classico $a$ e $b$) per scrivere invece

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Possiamo scegliere di scrivere esplicitamente il simbolo del prodotto tensoriale così:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Possiamo indicizzare i ket per indicare a quali sistemi corrispondono, in questo modo:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Naturalmente, possiamo anche scrivere i vettori di stato quantistico esplicitamente come vettori colonna:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

A seconda del contesto in cui appare, una di queste varianti potrebbe essere preferita — ma sono tutte equivalenti nel senso che descrivono lo stesso vettore.

Prodotti tensoriali di vettori di stato quantistico

Come per i vettori di probabilità, anche i prodotti tensoriali di vettori di stato quantistico sono vettori di stato quantistico — e rappresentano nuovamente l'indipendenza tra sistemi.

In dettaglio, partendo dal caso di due sistemi, supponiamo che $\vert \phi \rangle$ sia un vettore di stato quantistico di un sistema $\mathsf{X}$ e $\vert \psi \rangle$ sia un vettore di stato quantistico di un sistema $\mathsf{Y}.$ Il prodotto tensoriale $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ che può essere scritto anche come $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ o come $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ è allora un vettore di stato quantistico del sistema congiunto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Chiamiamo nuovamente uno stato di questa forma uno stato prodotto.

Intuitivamente, quando una coppia di sistemi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ si trova in uno stato prodotto $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ possiamo interpretarlo nel senso che $\mathsf{X}$ è nello stato quantistico $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ è nello stato quantistico $\vert \psi \rangle,$ e gli stati dei due sistemi non hanno nulla a che fare l'uno con l'altro.

Il fatto che il vettore prodotto tensoriale $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ sia effettivamente un vettore di stato quantistico è coerente con il fatto che la norma euclidea sia moltiplicativa rispetto ai prodotti tensoriali:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Poiché $\vert \phi \rangle$ e $\vert \psi \rangle$ sono vettori di stato quantistico, abbiamo $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ e $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ e quindi $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ quindi anche $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ è un vettore di stato quantistico.

Questo si generalizza a più di due sistemi. Se $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ sono vettori di stato quantistico dei sistemi $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ allora $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ è un vettore di stato quantistico che rappresenta uno stato prodotto del sistema congiunto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Sappiamo che è un vettore di stato quantistico perché

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Stati entangled

Non tutti i vettori di stato quantistico di sistemi multipli sono stati prodotto. Per esempio, il vettore di stato quantistico

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

di due qubit non è uno stato prodotto. Per dimostrarlo, possiamo seguire esattamente lo stesso ragionamento usato nella sezione precedente per uno stato probabilistico. Cioè, se $(1)$ fosse uno stato prodotto, esisterebbero vettori di stato quantistico $\vert\phi\rangle$ e $\vert\psi\rangle$ tali che

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Ma allora dovrebbe necessariamente valere

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

il che implica che $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ oppure $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (o entrambi). Ciò contraddice il fatto che

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

e

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

sono entrambi diversi da zero. Quindi il vettore di stato quantistico $(1)$ rappresenta una correlazione tra due sistemi, e in particolare diciamo che i sistemi sono entangled.

Nota che il valore specifico $1/\sqrt{2}$ non è importante per questo ragionamento — l'unica cosa che conta è che questo valore sia diverso da zero. Pertanto, per esempio, anche lo stato quantistico

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

non è uno stato prodotto, con lo stesso argomento.

L'entanglement è una caratteristica fondamentale dell'informazione quantistica che verrà discussa più in dettaglio in una lezione successiva. L'entanglement può essere complesso, in particolare per i tipi di stati quantistici rumorosi che possono essere descritti da matrici densità (trattate nel corso Formulazione generale dell'informazione quantistica, il terzo corso della serie Capire l'informazione e il calcolo quantistico). Per i vettori di stato quantistico, tuttavia, l'entanglement è equivalente alla correlazione: qualsiasi vettore di stato quantistico che non è uno stato prodotto rappresenta uno stato entangled.

Al contrario, il vettore di stato quantistico

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

è un esempio di stato prodotto.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Quindi questo stato non è entangled.

Stati di Bell

Esamineremo ora alcuni importanti esempi di stati quantistici multi-qubit, a partire dagli stati di Bell. Questi sono i seguenti quattro stati a due qubit:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Gli stati di Bell prendono il nome da John Bell. Nota che lo stesso argomento che mostra che $\vert\phi^+\rangle$ non è uno stato prodotto mostra anche che nessuno degli altri stati di Bell è uno stato prodotto: tutti e quattro gli stati di Bell rappresentano entanglement tra due qubit.

La collezione di tutti e quattro gli stati di Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

è nota come base di Bell. Come suggerisce il nome, questa è effettivamente una base; qualsiasi vettore di stato quantistico di due qubit, o in realtà qualsiasi vettore complesso con entrate corrispondenti ai quattro stati classici di due bit, può essere espresso come combinazione lineare dei quattro stati di Bell. Per esempio,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Stati GHZ e W

Considereremo ora due interessanti esempi di stati di tre qubit. Il primo esempio è lo stato GHZ (così chiamato in onore di Daniel Greenberger, Michael Horne e Anton Zeilinger, che per primi ne studiarono alcune proprietà):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Il secondo esempio è il cosiddetto stato W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Nessuno di questi stati è uno stato prodotto, il che significa che non possono essere scritti come prodotto tensoriale di tre vettori di stato quantistico a un qubit. Esamineremo entrambi questi stati in seguito, quando discuteremo le misure parziali degli stati quantistici di sistemi multipli.

Esempi aggiuntivi

Gli esempi di stati quantistici di sistemi multipli che abbiamo visto finora sono stati di due o tre qubit, ma possiamo anche considerare stati quantistici di sistemi multipli con diversi insiemi di stati classici.

Per esempio, ecco uno stato quantistico di tre sistemi, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$ dove l'insieme di stati classici di $\mathsf{X}$ è l'alfabeto binario (quindi $\mathsf{X}$ è un qubit) e l'insieme di stati classici di $\mathsf{Y}$ e $\mathsf{Z}$ è $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Ed ecco un esempio di stato quantistico di tre sistemi, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z},$ che condividono tutti lo stesso insieme di stati classici $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

I sistemi con insieme di stati classici $\{0,1,2\}$ vengono spesso chiamati trit o (supponendo che possano trovarsi in uno stato quantistico) qutrit. Il termine qudit si riferisce a un sistema con insieme di stati classici $\{0,\ldots,d-1\}$ per una scelta arbitraria di $d.$

Misure degli stati quantistici

Le misure in base standard degli stati quantistici di sistemi singoli sono state discusse nella lezione precedente: se un sistema con insieme di stati classici $\Sigma$ si trova in uno stato quantistico rappresentato dal vettore $\vert \psi \rangle$, e questo sistema viene misurato (rispetto a una misura in base standard), allora ogni stato classico $a\in\Sigma$ compare con probabilità $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Questo ci dice cosa succede quando abbiamo uno stato quantistico di più sistemi e decidiamo di misurare l'intero sistema composto, il che equivale a misurare tutti i sistemi.

Per formularlo in modo preciso, supponiamo che $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ siano sistemi con insiemi di stati classici $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}.$ Possiamo allora considerare $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ congiuntamente come un sistema singolo, il cui insieme di stati classici è il prodotto cartesiano $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Se uno stato quantistico di questo sistema è rappresentato dal vettore di stato quantistico $\vert\psi\rangle$ e tutti i sistemi vengono misurati, allora ogni possibile risultato $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ compare con probabilità $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Ad esempio, se i sistemi $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ si trovano congiuntamente nello stato quantistico

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

allora la misura di entrambi i sistemi con misure in base standard produce il risultato $(0,\heartsuit)$ con probabilità $9/25$ e il risultato $(1,\spadesuit)$ con probabilità $16/25.$

Misure parziali

Consideriamo ora la situazione in cui abbiamo più sistemi in uno stato quantistico e misuriamo un sottoinsieme proprio dei sistemi. Come prima, cominciamo con due sistemi $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ con insiemi di stati classici $\Sigma$ e $\Gamma$ rispettivamente.

In generale, un vettore di stato quantistico di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ assume la forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

dove $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ è una raccolta di numeri complessi che soddisfa

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

il che equivale a dire che $\vert \psi \rangle$ è un vettore unitario.

Sappiamo già dalla discussione precedente che se sia $\mathsf{X}$ che $\mathsf{Y}$ vengono misurati, ogni possibile risultato $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ compare con probabilità

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Se invece supponiamo che venga misurato solo il primo sistema $\mathsf{X}$, la probabilità che compaia ogni risultato $a\in\Sigma$ deve quindi essere uguale a

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Questo è coerente con quanto abbiamo già visto nel caso probabilistico, nonché con la nostra attuale comprensione della fisica: la probabilità che compaia ogni risultato quando $\mathsf{X}$ viene misurato non può in alcun modo dipendere dal fatto che $\mathsf{Y}$ sia stato misurato o meno, poiché ciò consentirebbe una comunicazione più veloce della luce.

Dopo aver ottenuto un determinato risultato $a\in\Sigma$ da una misura in base standard di $\mathsf{X}$, ci aspettiamo naturalmente che lo stato quantistico di $\mathsf{X}$ cambi in modo da essere uguale a $\vert a\rangle$, proprio come accadeva per i sistemi singoli. Ma cosa succede allo stato quantistico di $\mathsf{Y}$?

Per rispondere a questa domanda, possiamo innanzitutto esprimere il vettore $\vert\psi\rangle$ come

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

dove

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

per ogni $a\in\Sigma.$ Qui seguiamo la stessa metodologia del caso probabilistico, isolando gli stati di base standard del sistema da misurare. La probabilità che la misura in base standard di $\mathsf{X}$ produca ogni risultato $a$ è la seguente:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

E come risultato della misura in base standard di $\mathsf{X}$ che produce il risultato $a$, lo stato quantistico della coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa congiuntamente

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Cioè, lo stato "collassa" come nel caso del sistema singolo, ma solo nella misura necessaria affinché lo stato sia coerente con la misura di $\mathsf{X}$ che ha prodotto il risultato $a$.

Informalmente, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ rappresenta la componente di $\vert \psi\rangle$ coerente con una misura di $\mathsf{X}$ che risulta nel risultato $a$. Poi normalizziamo questo vettore — dividendolo per la sua norma euclidea, che è uguale a $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — per ottenere un vettore di stato quantistico valido con norma euclidea uguale a $1$. Questo passo di normalizzazione è analogo a quello che abbiamo fatto nel caso probabilistico, quando dividevamo i vettori per la somma delle loro componenti per ottenere un vettore di probabilità.

Come esempio, consideriamo lo stato di due qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dall'inizio della sezione:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Per capire cosa succede quando viene misurato il primo sistema $\mathsf{X}$, iniziamo scrivendo

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Vediamo ora, sulla base della descrizione precedente, che la probabilità che la misura produca il risultato $0$ è

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

e la probabilità che la misura produca il risultato $1$ è

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

La stessa tecnica, applicata in modo simmetrico, descrive cosa succede quando viene misurato il secondo sistema $\mathsf{Y}$ invece del primo. Questa volta riscriviamo il vettore $\vert \psi \rangle$ come

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

La probabilità che la misura di $\mathsf{Y}$ produca il risultato $0$ è

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

e la probabilità che il risultato della misura sia $1$ è

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

nel qual caso lo stato di $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diventa

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Nota sugli stati quantistici ridotti

L'esempio precedente mette in luce una limitazione della descrizione semplificata dell'informazione quantistica, ovvero che non offre un modo per descrivere lo stato quantistico ridotto (o marginale) di uno solo di due sistemi (o di un sottoinsieme proprio di un numero qualsiasi di sistemi), come nel caso probabilistico.

In particolare, per uno stato probabilistico di due sistemi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descritto da un vettore di probabilità

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

possiamo scrivere lo stato probabilistico ridotto o marginale di $\mathsf{X}$ da solo come

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Per i vettori di stato quantistico non esiste un modo analogo per farlo. In particolare, per un vettore di stato quantistico

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

il vettore

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

in generale non è un vettore di stato quantistico e non rappresenta correttamente il concetto di stato ridotto o marginale.

Quello che possiamo fare invece è ricorrere alla nozione di matrice di densità, discussa nel corso Formulazione Generale dell'Informazione Quantistica. Le matrici di densità ci forniscono un modo significativo per definire gli stati quantistici ridotti, analogo al caso probabilistico.

Misure parziali per tre o più sistemi

Le misure parziali per tre o più sistemi, in cui viene misurato un sottoinsieme proprio dei sistemi, possono essere ricondotte al caso di due sistemi dividendo i sistemi in due gruppi: quelli che vengono misurati e quelli che non vengono misurati. Ecco un esempio specifico che illustra come fare. In particolare, dimostra come indicizzare i ket con i nomi dei sistemi che rappresentano possa essere utile — in questo caso, perché ci offre un modo semplice per descrivere le permutazioni dei sistemi.

Per questo esempio, consideriamo uno stato quantistico di una 5-upla di sistemi $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ dove tutti e cinque i sistemi condividono lo stesso insieme di stati classici $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Considereremo la situazione in cui vengono misurati il primo e il terzo sistema, lasciando invariati i restanti sistemi.

Concettualmente, non c'è alcuna differenza fondamentale tra questa situazione e quella in cui viene misurato uno di due sistemi. Purtroppo, poiché i sistemi misurati sono intrecciati con quelli non misurati, ci troviamo di fronte a un ostacolo nello scrivere le espressioni necessarie per eseguire questi calcoli.

Un modo per procedere, come suggerito sopra, è indicizzare i ket per indicare a quali sistemi si riferiscono. Questo ci dà un modo per tenere traccia dei sistemi mentre permutiamo l'ordine dei ket, il che semplifica la matematica.

Per prima cosa, il vettore di stato quantistico precedente può essere scritto in alternativa come

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Non è cambiato nulla, tranne il fatto che ogni ket ora ha un indice che indica a quale sistema corrisponde. Qui abbiamo usato gli indici $0,\ldots,4$, ma si potrebbero usare anche i nomi dei sistemi stessi (in una situazione in cui i nomi dei sistemi sono $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ e $\mathsf{Z}$, ad esempio).

Possiamo ora riordinare i ket e raccogliere i termini come segue:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

I prodotti tensoriali sono ancora impliciti, anche quando vengono usate le parentesi, come in questo esempio.

Per essere chiari riguardo alla permutazione dei ket: i prodotti tensoriali non sono commutativi. Se $\vert \phi\rangle$ e $\vert \pi \rangle$ sono vettori, allora in generale $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ è diverso da $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ e lo stesso vale per i prodotti tensoriali di tre o più vettori. Ad esempio, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ è un vettore diverso da $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Il riordinamento dei ket che abbiamo appena effettuato non deve essere interpretato come se suggerisse altro.

Piuttosto, ai fini dei calcoli, prendiamo semplicemente la decisione che è più conveniente raggruppare i sistemi come $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ invece che come $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Gli indici sui ket servono a mantenere tutto chiaro, e siamo liberi di tornare all'ordine originale in seguito, se lo desideriamo.

Vediamo ora che, se i sistemi $\mathsf{X}_4$ e $\mathsf{X}_2$ vengono misurati, le probabilità (non nulle) dei vari risultati sono le seguenti:

• Il risultato di misura $(\heartsuit,\diamondsuit)$ si verifica con probabilità

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Il risultato di misura $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ si verifica con probabilità

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Il risultato di misura $(\spadesuit,\clubsuit)$ si verifica con probabilità

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Se il risultato della misura è ad esempio $(\heartsuit,\diamondsuit)$, lo stato risultante dei nostri cinque sistemi diventa

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Qui siamo tornati all'ordine originale dei sistemi per la risposta finale, solo per illustrare che possiamo farlo. Per gli altri possibili risultati della misura, lo stato può essere determinato in modo analogo.

Infine, ecco due esempi promessi in precedenza, a partire dallo stato GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Se viene misurato solo il primo sistema, otteniamo il risultato $0$ con probabilità $1/2$, nel qual caso lo stato dei tre qubit diventa $\vert 000\rangle$; e otteniamo anche il risultato $1$ con probabilità $1/2$, nel qual caso lo stato dei tre qubit diventa $\vert 111\rangle$.

Per uno stato W invece, sempre supponendo che venga misurato solo il primo sistema, iniziamo scrivendo questo stato come:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

La probabilità che una misura del primo qubit produca il risultato 0 è quindi uguale a

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

e condizionatamente al fatto che la misura produca questo risultato, lo stato quantistico dei tre qubit diventa

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

La probabilità che il risultato della misura sia 1 è $1/3$, nel qual caso lo stato dei tre qubit diventa $\vert 100\rangle$.

Lo stato W è simmetrico nel senso che non cambia se permutiamo i qubit. Otteniamo quindi una descrizione analoga per la misura del secondo o del terzo qubit invece del primo.

Operazioni unitarie

In linea di principio, qualsiasi matrice unitaria le cui righe e colonne corrispondono agli stati classici di un sistema rappresenta un'operazione quantistica valida su quel sistema. Questo rimane ovviamente vero per i sistemi composti, le cui insiemi di stati classici sono prodotti cartesiani degli insiemi di stati classici dei singoli sistemi.

Concentrandoci su due sistemi, se $\mathsf{X}$ è un sistema con insieme di stati classici $\Sigma$ e $\mathsf{Y}$ è un sistema con insieme di stati classici $\Gamma$, allora l'insieme di stati classici del sistema composto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è $\Sigma\times\Gamma.$ Di conseguenza, le operazioni quantistiche su questo sistema composto sono rappresentate da matrici unitarie le cui righe e colonne sono indicizzate dall'insieme $\Sigma\times\Gamma$. L'ordinamento delle righe e delle colonne di queste matrici è lo stesso usato per i vettori di stato quantistico del sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Supponiamo ad esempio che $\Sigma = \{1,2,3\}$ e $\Gamma = \{0,1\},$ e ricordiamo che la convenzione standard per l'ordinamento degli elementi del prodotto cartesiano $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ è la seguente:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Ecco un esempio di matrice unitaria che rappresenta un'operazione su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Questa matrice unitaria non è niente di speciale, è solo un esempio. Per verificare che $U$ sia unitaria, è sufficiente calcolare e verificare che, per esempio, $U^{\dagger} U = \mathbb{I}.$ In alternativa, possiamo verificare che le righe (o le colonne) siano ortonormali, il che risulta più semplice in questo caso, data la forma particolare della matrice $U.$

L'effetto di $U$ sul vettore della base standard $\vert 1, 1 \rangle$ è, ad esempio,

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

come possiamo vedere esaminando la seconda colonna di $U$, tenendo presente il nostro ordinamento dell'insieme $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Come per qualsiasi matrice, è possibile esprimere $U$ usando la notazione di Dirac, il che richiederebbe 20 termini per i 20 elementi non nulli di $U$. Se scrivessimo davvero tutti questi termini invece di scrivere una matrice $6\times 6$, sarebbe disordinato e i pattern visibili nella rappresentazione matriciale probabilmente non sarebbero altrettanto chiari. In breve, la notazione di Dirac non è sempre la scelta migliore.

Le operazioni unitarie su tre o più sistemi funzionano in modo analogo, con matrici unitarie le cui righe e colonne corrispondono al prodotto cartesiano degli insiemi di stati classici dei sistemi. Abbiamo già visto un esempio in questa lezione: l'operazione su tre qubit

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

dove i numeri nei bra e nei ket rappresentano le loro codifiche binarie a $3$ bit. Oltre ad essere un'operazione deterministica, questa è anche un'operazione unitaria. Le operazioni che sono sia deterministiche che unitarie vengono dette operazioni reversibili. Il trasposto coniugato di questa matrice può essere scritto come:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Questo rappresenta l'inversione, o in termini matematici l'inversa, dell'operazione originale — esattamente ciò che ci aspettiamo dal trasposto coniugato di una matrice unitaria. Vedremo ulteriori esempi di operazioni unitarie su sistemi multipli man mano che la lezione procede.

Operazioni unitarie eseguite indipendentemente sui singoli sistemi

Quando operazioni unitarie vengono eseguite in modo indipendente su una collezione di sistemi individuali, l'effetto combinato di queste operazioni indipendenti è descritto dal prodotto tensoriale delle matrici unitarie che le rappresentano. In altri termini, se $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sono sistemi quantistici, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ sono matrici unitarie che rappresentano operazioni su questi sistemi, e le operazioni vengono eseguite in modo indipendente sui sistemi, l'effetto combinato su $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ è rappresentato dalla matrice $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$. Troviamo ancora una volta che i contesti probabilistici e quantistici sono analoghi sotto questo aspetto.

Ci si aspetterebbe naturalmente, dalla lettura del paragrafo precedente, che il prodotto tensoriale di qualsiasi collezione di matrici unitarie sia unitario. È effettivamente vero, e possiamo verificarlo come segue.

Osserviamo innanzitutto che l'operazione di trasposto coniugato soddisfa

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

per matrici $M_0,\ldots,M_{n-1}$ scelte arbitrariamente. Questo può essere verificato tornando alla definizione di prodotto tensoriale e di trasposto coniugato e controllando che ogni elemento dei due lati dell'equazione coincida. Ciò significa che

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Poiché il prodotto tensoriale di matrici è moltiplicativo, troviamo che

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Qui abbiamo scritto $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ per riferirci alle matrici che rappresentano l'operazione identità sui sistemi $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$, ovvero matrici identità le cui dimensioni corrispondono al numero di stati classici di $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$.

Infine, il prodotto tensoriale $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ è uguale alla matrice identità, con un numero di righe e colonne pari al prodotto dei numeri di righe e colonne delle matrici $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$. Questa matrice identità più grande rappresenta l'operazione identità sul sistema composto $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

In sintesi, abbiamo la seguente sequenza di uguaglianze:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Concludiamo quindi che $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ è unitario.

Una situazione importante che si presenta spesso è quella in cui un'operazione unitaria viene applicata a un solo sistema — o a un sottoinsieme proprio di sistemi — all'interno di un sistema composto più grande. Supponiamo ad esempio che $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ siano sistemi che possiamo considerare insieme come un unico sistema composto $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, e che eseguiamo un'operazione solo sul sistema $\mathsf{X}$. Per essere precisi, supponiamo che $U$ sia una matrice unitaria che rappresenta un'operazione su $\mathsf{X}$, in modo che le sue righe e colonne siano indicizzate dagli stati classici di $\mathsf{X}$.

Dire che eseguiamo l'operazione rappresentata da $U$ solo sul sistema $\mathsf{X}$ implica che non facciamo nulla con $\mathsf{Y}$, il che significa che eseguiamo in modo indipendente $U$ su $\mathsf{X}$ e l'operazione identità su $\mathsf{Y}$. In altri termini, "non fare nulla con $\mathsf{Y}$" equivale a eseguire l'operazione identità su $\mathsf{Y}$, rappresentata dalla matrice identità $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$. (Qui, tra l'altro, il pedice $\mathsf{Y}$ ci dice che $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ si riferisce alla matrice identità con un numero di righe e colonne in accordo con l'insieme di stati classici di $\mathsf{Y}$.) L'operazione su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ottenuta eseguendo $U$ su $\mathsf{X}$ e non facendo nulla con $\mathsf{Y}$ è quindi rappresentata dalla matrice unitaria

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Ad esempio, se $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sono qubit, eseguire un'operazione di Hadamard su $\mathsf{X}$ e non fare nulla con $\mathsf{Y}$ equivale a eseguire l'operazione

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

sul sistema composto $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Analogamente, quando un'operazione rappresentata da una matrice unitaria $U$ viene applicata a $\mathsf{Y}$ e non si fa nulla con $\mathsf{X}$, l'operazione risultante su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è rappresentata dalla matrice unitaria

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Ad esempio, considerando di nuovo la situazione in cui sia $\mathsf{X}$ che $\mathsf{Y}$ sono qubit e $U$ è un'operazione di Hadamard, l'operazione risultante su $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è rappresentata dalla matrice

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Non ogni operazione unitaria su una collezione di sistemi può essere scritta come prodotto tensoriale di operazioni unitarie di questo tipo, proprio come non ogni vettore di stato quantistico di quei sistemi è un stato prodotto. Ad esempio, né l'operazione SWAP né l'operazione Controlled-NOT su due qubit, descritte di seguito, possono essere espresse come prodotti tensoriali di operazioni unitarie.

L'operazione SWAP

Per concludere la lezione, esaminiamo due classi di esempi di operazioni unitarie su sistemi multipli, a partire dall'operazione SWAP.

Supponiamo che $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ siano sistemi che condividono lo stesso insieme di stati classici $\Sigma$. L'operazione SWAP sulla coppia $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ è l'operazione che scambia il contenuto dei due sistemi, lasciandoli altrimenti invariati — in modo che $\mathsf{X}$ rimanga a sinistra e $\mathsf{Y}$ rimanga a destra. Indichiamo questa operazione con $\operatorname{SWAP},$ e funziona così per ogni scelta di stati classici $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Un modo per scrivere la matrice associata a questa operazione usando la notazione di Dirac è il seguente:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Potrebbe non essere immediatamente ovvio che questa matrice rappresenti $\operatorname{SWAP}$, ma possiamo verificare che soddisfa la condizione $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ per ogni scelta di stati classici $a,b\in\Sigma$. Come semplice esempio, quando $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$ sono qubit, troviamo che

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operazioni unitarie controllate

Supponiamo ora che $\mathsf{Q}$ sia un qubit e $\mathsf{R}$ un sistema arbitrario con qualsiasi insieme di stati classici desideriamo. Per ogni operazione unitaria $U$ che agisce sul sistema $\mathsf{R}$, un'operazione controlled-$U$ è un'operazione unitaria sulla coppia $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$, definita come segue:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Ad esempio, se $\mathsf{R}$ è anch'esso un qubit e consideriamo l'operazione di Pauli-$X$ su $\mathrm{R}$, allora un'operazione controlled-$X$ è data da

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Abbiamo già incontrato questa operazione nel contesto dell'informazione classica e delle operazioni probabilistiche più avanti nella lezione. Sostituendo l'operazione di Pauli-$X$ su $\mathsf{R}$ con un'operazione $Z$ si ottiene quest'operazione:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Se invece prendiamo $\mathsf{R}$ come due qubit e $U$ come l'operazione SWAP tra questi due qubit, otteniamo quest'operazione:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Questa operazione è nota anche come operazione di Fredkin o, più comunemente, gate di Fredkin. Il suo effetto sugli stati della base standard può essere descritto come segue:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Infine, un'operazione controlled-controlled-NOT, che possiamo indicare come $CCX$, è detta operazione di Toffoli o gate di Toffoli. La sua rappresentazione matriciale è la seguente:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Possiamo esprimerla in alternativa usando la notazione di Dirac come segue:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$