Basi della meccanica quantistica

Introduzione

Nel video seguente, Olivia Lanes ti guida attraverso i contenuti di questa lezione. In alternativa, puoi aprire il video YouTube di questa lezione in una finestra separata.

Nella lezione precedente, abbiamo imparato come produrre uno stato entangled di due qubit, noto come "stato di Bell." Quando abbiamo misurato lo stato, abbiamo visto che le misurazioni dei due qubit erano correlate: quando uno veniva misurato come 0 anche l'altro veniva misurato 0, e quando uno era 1 anche l'altro veniva misurato 1. Abbiamo visto che questa è una caratteristica distintiva dell'entanglement quantistico. Oggi approfondiremo questo stato e ciò che rivela sulla fisica quantistica fondamentale per il calcolo quantistico.

Lo stato di Bell

Molti dei fenomeni quantistici che fanno sì che i computer quantistici si comportino diversamente dai computer classici sono già presenti nel deceptivamente semplice stato di Bell che abbiamo prodotto nella lezione precedente. Riprendiamo il Circuit dello stato di Bell:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

L'immagine sopra rappresenta il Circuit quantistico per creare lo stato di Bell $\vert\Phi^+\rangle$. Le due linee orizzontali nere rappresentano i nostri due qubit, e i riquadri e gli altri simboli su quelle linee rappresentano Gate o operazioni eseguite sui qubit corrispondenti. La doppia linea grigia è un bus di informazioni classiche che ci permette di memorizzare le informazioni classiche che otteniamo misurando i due qubit. Analizzeremo nel dettaglio questo Circuit e il risultante stato di Bell per capire le basi del calcolo quantistico.

La matematica del calcolo quantistico

Rappresentazione degli stati quantistici

Prima di tutto, abbiamo bisogno di un linguaggio comune per discutere di stati e Circuit quantistici. Ci sono un paio di modi diversi per rappresentare gli stati quantistici. Il primo è la notazione di Dirac. Nella notazione di Dirac, lo stato appare così:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Qui, lo stato è scritto tra parentesi angolari e barre verticali. I due termini rappresentano ciascuno i due possibili risultati di misurazione dello stato. Quindi, quando misuriamo questo stato, troveremo che entrambi i qubit sono nello stato 0 oppure che entrambi sono nello stato 1. Il $\frac{1}{\sqrt{2}}$ è chiamato "costante di normalizzazione". È lì per garantire che la somma dei quadrati di ciascuno dei coefficienti nello stato faccia $1$. Discuteremo perché questo accade più avanti, nella sezione sulle misurazioni.

Il secondo modo per rappresentare uno stato è nel linguaggio standard dell'algebra lineare: come vettore, dove ogni elemento del vettore rappresenta un diverso possibile risultato di misurazione. In questa notazione, il nostro stato di Bell verrebbe scritto così:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Per convenzione, gli elementi del vettore sono ordinati come segue:

• Il primo elemento corrisponde allo stato a due qubit $\vert00\rangle$
• Il secondo a $\vert01\rangle$
• Il terzo a $\vert10\rangle$
• Il quarto a $\vert11\rangle$

Come previsto, nel vettore dello stato di Bell $\vert\Phi^+\rangle$, il primo e il quarto elemento sono diversi da zero, mentre il secondo e il terzo sono zero. La costante di normalizzazione $1/\sqrt{2}$ garantisce che la lunghezza del vettore sia $1$.

Una nota sull'ordinamento dei qubit

Qiskit usa l'ordinamento little endian. Ciò significa che il qubit più a destra è considerato il primo (o meno significativo) qubit, e il qubit più a sinistra è il più significativo. Quindi, quando scriviamo uno stato come $\vert01\rangle$:

• il bit più a destra corrisponde al qubit $0$, ed è nello stato $\vert1\rangle$.
• il bit più a sinistra corrisponde al qubit $1$, ed è nello stato $\vert0\rangle$.

Rappresentazione dei Gate

Proprio come gli stati possono essere rappresentati come vettori, i Gate possono essere rappresentati come matrici. Un Gate agisce su uno stato trasformando il suo vettore in un nuovo vettore.

Ogni Gate corrisponde a una matrice specifica che determina come lo stato verrà trasformato. Applichiamo questa trasformazione moltiplicando la matrice del Gate e il vettore dello stato originale, con la matrice del Gate a sinistra del vettore dello stato, in questo modo:

$$U |\psi\rangle$$

dove $U$ rappresenta la matrice del Gate e $|\psi\rangle$ rappresenta il vettore dello stato.

Prendiamo come esempio il Gate di Hadamard. Il Gate di Hadamard è un Gate a qubit singolo (il riquadro rosso etichettato "H" nel diagramma del Circuit sopra) che trasforma lo stato $\vert0\rangle$ in $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ e lo stato $\vert1\rangle$ in $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. In notazione matriciale, l'Hadamard appare così:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Verifica la tua comprensione

Usa la moltiplicazione matriciale per dimostrare che la matrice di Hadamard trasforma gli stati come previsto. (Se necessario, puoi imparare come eseguire la moltiplicazione matriciale.)

Risposta

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Ci sono alcune cose da tenere a mente riguardo alle matrici dei Gate:

1. Sono sempre matrici quadrate $N \times N$, dove $N$ è anche la dimensione del vettore dello stato a cui vengono applicate. Per esempio, quando hai solo un singolo qubit, il vettore dello stato è bidimensionale, e rappresenta i due possibili stati 0 e 1 del qubit. In questo caso, le dimensioni della matrice del Gate applicata a questo sistema sarebbero $2\times 2$.
2. I Gate quantistici sono reversibili. In altre parole, puoi trovare un'altra matrice che è l'inversa del Gate, la quale annulla l'azione del Gate e riporta i qubit al loro stato originale.
3. I Gate quantistici preservano anche la lunghezza dei vettori che trasformano. I vettori di stato quantistici avranno sempre lunghezza $1$ (garantita dalle costanti di normalizzazione di cui abbiamo discusso prima). I Gate non li allungano né li accorciano, ma li ruotano semplicemente.

Queste sono tutte proprietà delle matrici unitarie. Se sei curioso di saperne di più sulle proprietà matematiche delle matrici unitarie, puoi leggere ulteriori informazioni nella lezione di John Watrous sui sistemi multipli nel corso Basics of Quantum Information.

Come funzionano le misurazioni

Quando misuriamo uno stato quantistico, il risultato è sempre uno dei possibili esiti (per un singolo qubit, o 0 o 1). Quale esito otteniamo è casuale, ma lo stato quantistico ci dice le probabilità di ciascun esito.

Gli elementi nel vettore dello stato determinano queste probabilità. Per ottenere la probabilità di un particolare esito, prendiamo il quadrato dell'elemento corrispondente a quell'esito. Per esempio, se un qubit è nello stato:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

il primo elemento (corrispondente a 0) è $1/\sqrt{2}$, e il secondo elemento (corrispondente a 1) è anch'esso $1/\sqrt{2}$. Elevando al quadrato questi numeri si ottiene

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

il che significa che c'è il 50% di probabilità di misurare 0 e il 50% di probabilità di misurare 1.

Ricorda che la somma di tutti gli elementi al quadrato è sempre uguale a 1. Questo ha senso perché quando misuriamo, siamo certi di ottenere qualche esito, quindi le probabilità di tutti i possibili esiti devono sommare al 100%.

Dopo la misurazione, il qubit collassa verso l'esito osservato, e qualsiasi sovrapposizione precedente viene persa. Il qubit ora si comporta come un bit classico. Le misurazioni sono fondamentalmente diverse dai Gate quantistici. Mentre i Gate cambiano gli stati quantistici in modo deterministico e reversibile, la misurazione è intrinsecamente casuale e irreversibile.

Misurazione in basi diverse

Per impostazione predefinita, quando misuri un qubit in un Circuit quantistico, stai misurando lo stato del qubit solo lungo un asse. Questo è chiamato la base computazionale, o base $Z$, definita dagli stati $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle$. Puoi pensare allo stato $\vert 0\rangle$ come un vettore che punta dritto verso l'alto, e allo stato $\vert 1\rangle$ come un vettore che punta dritto verso il basso. Quindi, una misurazione nella base $Z$ risponde alla domanda: "Il vettore di stato del qubit punta verso l'alto o verso il basso?"

Ma questo non è l'unico tipo di domanda che possiamo fare a un qubit. Il vettore di stato di un qubit non punta solo verso l'alto o verso il basso. Una sovrapposizione di $\vert 0\rangle$ e $\vert 1\rangle$ darà come risultato un vettore di stato che punta in qualsiasi direzione nello spazio tridimensionale — la direzione precisa dipende dalle ampiezze relative e dalle fasi delle due parti della sovrapposizione. Quindi, mentre una misurazione standard nella base $Z$ chiede "su o giù?", puoi anche chiedere "sinistra o destra?" oppure "avanti o indietro?"

Queste domande corrispondono a misurare in basi diverse. Ogni base ha il proprio insieme di due vettori base, che definiscono i due possibili esiti di misurazione in quella base (come $\vert 0\rangle$ o $\vert 1\rangle$ per la base $Z$).

• Gli esiti della misurazione nella base Z collassano verso $\vert 0\rangle$ o $\vert 1\rangle$
• Gli esiti della misurazione nella base X collassano verso $\vert +\rangle$ o $\vert -\rangle$
• Gli esiti della misurazione nella base Y collassano verso $\vert i\rangle$ o $\vert -i\rangle$

dove

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

dove $i=\sqrt{−1}$ è l'unità immaginaria. Qui vediamo per la prima volta sovrapposizioni con una differenza di fase tra le due parti. La fase è tipicamente scritta come $e^{i\theta}$, dove $\theta$ è l'angolo dell'ampiezza di uno stato quantistico nel piano complesso — un piano bidimensionale dove l'asse orizzontale rappresenta i numeri reali e quello verticale rappresenta i numeri immaginari. Puoi pensarci in modo più intuitivo come quanto un'onda è sfasata rispetto a un'altra: i loro picchi sono allineati, o un'onda è sfasata così che il suo picco incontra la valle dell'altra?

Matrici di Pauli e osservabili

Ci sono tre matrici, le cosiddette matrici di Pauli, che si riferiscono a queste tre diverse scelte di base $X$, $Y$ e $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

In che modo esattamente queste si riferiscono alle basi di misurazione? A prima vista, queste sembrano comuni matrici di Gate — e lo sono. Ogni matrice di Pauli può agire su un qubit e cambiare il suo stato:

• Pauli-X scambia $|0\rangle$ e $|1\rangle$, come un Gate NOT classico.
• Pauli-Z lascia $|0\rangle$ invariato ma moltiplica $|1\rangle$ per $-1$, cambiando la fase relativa.
• Pauli-Y capovolge il qubit e introduce una fase.

Ma le matrici di Pauli hanno una seconda interpretazione, ugualmente importante. Nella meccanica quantistica, qualsiasi grandezza misurabile è chiamata osservabile, e gli osservabili sono rappresentati da matrici. Le matrici di Pauli corrispondono a misurazioni lungo tre assi diversi, e i loro autostati corrispondono ai due possibili esiti di misurazione lungo ciascun asse. (Se non hai familiarità con il termine autostato, non preoccuparti — sono solo vettori speciali associati a una data matrice.)

• $Z$ → misurazione nella base Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → misurazione nella base X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → misurazione nella base Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Questo spiega perché le matrici di Pauli sembrano svolgere un doppio ruolo. Agiscono sia sugli stati (come Gate) sia definiscono le direzioni di misurazione (come osservabili). Entrambi i ruoli derivano dalla stessa matematica sottostante.

Quindi, in pratica, come si misura nella base X o Y? Per impostazione predefinita, i nostri computer quantistici sono configurati solo per misurare nella base Z. Quindi, devi cambiare base ruotando il vettore di stato del qubit in modo tale che le informazioni che ti interessano, X o Y, puntino ora nella direzione Z. Poi esegui semplicemente una misurazione Z come di consueto.

Per esempio, misurare nella base X può essere fatto applicando un Gate di Hadamard, e poi misurando nella base Z. L'Hadamard ruota lo stato in modo che le "informazioni X" diventino "informazioni Z." Dopo di che, una misurazione normale fa il suo lavoro.

Vedrai di più le matrici di Pauli nella prossima lezione, quando applicheremo le nostre nuove capacità di scrittura di Circuit quantistici a un problema reale di fisica quantistica.

Il Circuit dello stato di Bell

Ora che abbiamo un punto di partenza — sappiamo che gli stati possono essere rappresentati da vettori, i Gate possono essere rappresentati da matrici, e le misurazioni fanno "collassare" uno stato — percorriamo il Circuit che crea e misura lo stato di Bell sopra.

Partiamo dallo stato iniziale di due qubit in $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Crea la sovrapposizione

Il Circuit inizia applicando un Gate di Hadamard al qubit 0. Come abbiamo visto nella sezione precedente, l'Hadamard porta il qubit da uno stato definito, $|0\rangle$ o $|1\rangle$, a una combinazione di entrambi quegli stati. Ricorda che il Gate di Hadamard è:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Per applicarlo al primo qubit in un sistema a due qubit, usiamo una matrice 4x4 espansa che applica $H$ al qubit 0 lasciando invariato il qubit 1. Pensalo come "applica $H$ al primo qubit e non toccare il secondo qubit":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Poi moltiplichiamo questo per il vettore dello stato iniziale:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Ora il qubit 0 è in uno stato di sovrapposizione.

Ulteriori informazioni sulla sovrapposizione quantistica

Una sovrapposizione quantistica del tipo sopra è spesso descritta come il qubit che si trova in entrambi gli stati allo stesso tempo. Tuttavia, quando misuriamo questo stato di sovrapposizione, l'esito è sempre $0$ o $1$ — non possiamo mai osservare direttamente la sovrapposizione stessa. In realtà, l'espressione "il qubit si trova in entrambi gli stati allo stesso tempo" può essere fuorviante. Un modo più preciso per descriverla è che una sovrapposizione è una descrizione matematica dello stato quantistico che ci permette di calcolare le probabilità dei diversi esiti di misurazione. Alcune persone pensano che le sovrapposizioni siano fisicamente reali, ma questa è un'interpretazione filosofica che non può essere testata; la meccanica quantistica predice solo le probabilità dei risultati delle misurazioni.

A differenza di una distribuzione di probabilità classica, una sovrapposizione quantistica permette anche ai diversi componenti di interferire tra loro, come onde sovrapposte che possono amplificarsi o cancellarsi a vicenda. Questa interferenza è ciò che consente agli algoritmi quantistici di produrre pattern di esiti di misurazione che sarebbero impossibili con la sola casualità classica.

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Crea l'entanglement tra i qubit

Successivamente, viene applicato un Gate controlled-NOT (CNOT) (mostrato come il punto blu, la linea verticale e il cerchio con il segno più che collegano i due qubit). Questo Gate crea l'entanglement tra i due qubit. Dopo questo passaggio, lo stato di un qubit non può essere descritto indipendentemente dall'altro.

Il Gate CNOT capovolge il qubit 1 (chiamato qubit target) solo se il qubit 0 (chiamato qubit di controllo) è nello stato $\vert 1\rangle$. La sua matrice è:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Applicala allo stato del Passaggio 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Ora i qubit sono entangled: misurarne uno determina immediatamente l'altro.

Ulteriori informazioni sull'entanglement quantistico

L'entanglement, come la sovrapposizione, è un fenomeno quantistico che non ha un analogo classico. Nei sistemi classici, due bit correlati potrebbero avere i loro valori collegati, ma ogni bit ha ancora un valore definito — anche se non lo conosciamo. Per esempio, se due monete sono incollate insieme così da atterrare sempre nello stesso modo, una moneta che mostra testa ti dice immediatamente che l'altra è testa. Ma prima di guardare, ogni moneta è già in uno stato definito.

Con i qubit entangled, la situazione è fondamentalmente diversa. Prima della misurazione, nessun qubit ha un valore definito di per sé. Solo la coppia ha uno stato ben definito. Misurare un qubit influisce immediatamente sulle probabilità dell'altro, indipendentemente da quanto siano distanti. Questo è un effetto puramente quantistico: non può essere spiegato dalla statistica classica né da informazioni nascoste sui singoli qubit.

Misura gli stati

Infine, entrambi i qubit vengono misurati. Quando misuriamo, lo stato quantistico collassa verso uno degli stati classicamente consentiti:

• 00 con probabilità $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 con probabilità $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Questo riproduce gli esiti di misurazione correlati che abbiamo osservato nel Circuit nella Lezione 1.

Conclusione

In questa lezione, abbiamo fatto un rapido tour dei concetti di meccanica quantistica e degli strumenti matematici necessari per eseguire in modo autonomo e con sicurezza Circuit quantistici su un computer quantistico. Abbiamo introdotto come gli stati quantistici sono rappresentati, come i Gate trasformano quegli stati, come funziona la misurazione, e come la sovrapposizione e l'entanglement emergono naturalmente da Circuit semplici.

Nella Lezione 3, metteremo queste idee in pratica percorrendo il flusso di lavoro completo per risolvere un problema giocattolo su un computer quantistico e interpretandone i risultati.

Obiettivo di apprendimento

Ricorda l'obiettivo di apprendimento dalla Lezione 1, dove ti abbiamo sfidato a modificare il Circuit per creare lo stato di Bell $\Psi^-$. Ora, usando quel Circuit, svolgi l'algebra matriciale e conferma che il tuo Circuit produce lo stato desiderato. (Suggerimento: dovrai determinare la forma matriciale di un Gate NOT o X.)