Formalismo matematico

Dato il compito di apprendere il rumore di Pauli per un insieme di gate di Clifford, una tecnica di analisi comune consiste nel seguire come i singoli operatori di Pauli vengono trasformati attraverso una sequenza di applicazioni di gate (assumendo che i gate siano di Clifford e che il rumore sia un canale di Pauli, un singolo Pauli sarà sempre mappato in un altro Pauli a meno di uno scalare che è funzione del rumore). Ovviamente, l'evoluzione di qualsiasi stato sotto una tale sequenza può essere descritta da una combinazione lineare di tali traiettorie, ma assumendo di preparare sempre lo stato in un autostato di Pauli, e di misurare e post-elaborare sempre i risultati per calcolare il valore di aspettazione di un operatore di Pauli, la relazione tra il valore di aspettazione e i parametri del modello di rumore dipenderà sempre da una sola traiettoria di questo tipo. Ciò deriva dal semplice fatto che lo stato iniziale è una combinazione lineare di operatori di Pauli, ogni gate e modello di rumore mappa Pauli in Pauli e preserva la loro ortogonalità, e il valore di aspettazione finale “seleziona” soltanto uno dei Pauli nella decomposizione finale prima della misura.

Questo tipo di ragionamento compare in molti filoni di ricerca paralleli sull'apprendimento del rumore, tra cui la letteratura sull'apprendimento dei gate set di Pauli [1, 2], la letteratura su ACES [3] e la letteratura sul cycle benchmarking [4]. Questo ragionamento è stato ulteriormente generalizzato in [5] per includere i gate Clifford-MCM (un gate di Clifford seguito da una misura proiettiva a metà circuito). Questo pacchetto segue più da vicino [1, 5]. Pur senza nominarlo esplicitamente, adottiamo il formalismo del Pattern Transfer Graph (PTG) per descrivere come gli operatori di Pauli evolvono attraverso i circuiti di apprendimento, fornendo una rappresentazione diretta dei dati dei percorsi nel grafo.

Di seguito è riportata una rassegna di alcuni concetti matematici fondamentali tratti dalla letteratura. Serve principalmente a consolidare la notazione e come riferimento concettuale della documentazione per il resto del pacchetto.

1. Contesto

1.1 Notazione

Per $K \in \mathbb{N}$, sia $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Per un insieme finito $S \subset \mathbb{N}$ di indici di qubit, sia $\mathcal{P}^S$ l'insieme degli operatori di Pauli senza fase che agiscono su quei qubit. Nota che consideriamo gli elementi di $\mathcal{P}^S$ come funzioni che mappano $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, così che per ogni $P \in \mathcal{P}^S$ e $T \subseteq S$, $P|_T$ denota la restrizione di $P$ al sottoinsieme di qubit $T$. In questo senso, per insiemi disgiunti $S, T$, e $P \in \mathcal{P}^S$ e $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ denota l'elemento di $\mathcal{P}^{S \cup T}$ tale che $P \otimes Q |_S = P$ e $P \otimes Q |_T = Q$. Questa notazione è utile per evitare di trattare esplicitamente gli ordinamenti dei sottosistemi e per descrivere facilmente le restrizioni.

Per sottoinsiemi finiti $M \subset \mathbb{N}$, indichiamo con $\mathbb{Z}_2^M$ l'insieme delle stringhe di bit i cui elementi sono indicizzati da $M$. Analogamente a quanto sopra, consideriamo gli elementi come funzioni che mappano $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, così da poter descrivere facilmente le sottostringhe in termini di restrizioni dell'insieme degli indici.

Infine, per una matrice $X$, usiamo $| X \rangle\!\rangle$ per denotarne la vettorizzazione. Dato il modo limitato in cui usiamo questa notazione, non è in realtà necessario scegliere una specifica convenzione di vettorizzazione. Per una stringa di bit classica $m$, usiamo la scorciatoia $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Strumenti quantistici

Un'operazione quantistica che produce bit classici $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (ad esempio il risultato di una misura) è in generale modellata come una mappa lineare della forma:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

dove l'insieme $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ è composto da mappe completamente positive, e $\sum_m \mathcal{E}_m$ preserva la traccia. Un insieme di mappe completamente positive $\{\mathcal{E}_m\}$ che soddisfa queste proprietà è detto strumento quantistico. Un gate unitario è un caso particolare di strumento con un solo elemento che è un'operazione unitaria.

2. Gate Clifford-MCM-reset con rumore

Il formalismo utilizzato in questo pacchetto assume che ogni gate dell'insieme di gate da caratterizzare consista nella seguente sequenza di operazioni su $K$ qubit:

1. Un'operazione di Clifford su tutti i qubit.

2. Una misura proiettiva a metà circuito lungo $Z$ su un sottoinsieme di qubit $M \subseteq [K]$.

3. Un reset a metà circuito allo stato fondamentale di $Z$ su un sottoinsieme di qubit $R \subseteq [K]$.

Questa è una classe generale di operazioni che include i gate unitari di Clifford, la misura, la preparazione dello stato e qualsiasi combinazione di questi. Nota che assumiamo che misura e reset avvengano sempre lungo l'asse $Z$ di ciascun qubit. Sebbene ciò non sia strettamente richiesto, è una caratteristica comune a molte modalità di calcolo quantistico e consente rappresentazioni e analisi semplificate.

Come illustrato in [5, 6] per il caso senza reset, se a un'istanza rumorosa di un tale gate viene applicata una specifica strategia di twirling, l'azione dell'operazione risultante può essere modellata matematicamente come uno strumento di Pauli uniforme. Ovvero, nella notazione degli strumenti quantistici, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, dove $G$ è l'unitario di Clifford, e:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

dove ciascun $\Lambda_{a,b}$ è un canale di Pauli sotto-normalizzato sui qubit non misurati $N = [K] \setminus M$. Il fatto che si tratti di uno strumento quantistico implica che anche $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ preservi la traccia. Alcune note:

• Si modella il rumore iniziale senza twirling in modo da includere sia errori “quantistici” sia “classici”: operazioni errate sui registri quantistici, oltre a errori nella restituzione del valore di misura.

• La mappa di rumore $\Lambda_{a,b}$ è indipendente dall'esito di misura $m$.

A parole, un singolo termine della somma precedente rappresenta l'osservazione di un esito di misura $m$ quando lo stato misurato era $| m + b \rangle$ (una classificazione errata se $b \neq 0$), e quando lo stato di uscita sul registro di misura è $| m + a \rangle$ (lo stato “sbagliato” quando $a \neq 0$). La mappa $\Lambda_{a,b}$ codifica simultaneamente l'azione sui qubit non misurati (condizionata dal comportamento della misura) e la probabilità dello specifico comportamento di misura (attraverso la normalizzazione).

Nota che qui non ci interessano i dettagli della strategia di twirling: è sufficiente che esista una strategia che porti il canale nella forma precedente. Nota che esistono strategie di twirling più “fini” che possono restringere ulteriormente la forma dei canali di Pauli [7]; tuttavia, assumiamo la forma precedente come la rappresentazione matematica più generale considerata.

Nel Lemma 1 di [5] si mostra che $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ può essere riscritto come:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

per certi numeri reali $\lambda_{x,y}^Q$, detti fedeltà dello strumento.

Aggiungere il reset a questo quadro è relativamente semplice. Un'operazione di reset rumorosa sui qubit $R \subset [K]$ può essere modellata secondo la decomposizione:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

La forma precedente utilizza esplicitamente l'assunzione che il reset avvenga lungo l'asse $Z$ di ciascun qubit. Il rumore nell'operazione è codificato nelle fedeltà di reset $\lambda_r$, che sono semplicemente indicizzate da sottoinsiemi di qubit.

Un analogo dell'Equazione (1) che includa un'operazione di reset alla fine si ottiene semplicemente componendola con l'Equazione (2). Questa composizione, dopo qualche semplificazione, produce:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Questa decomposizione indica che il numero di fedeltà $\lambda^Q_{x, y}$ è

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Consideriamo i casi limite: (1) Senza misura né reset, $M = R = \emptyset$, e l'espressione dà $4^K$, il numero di operatori di Pauli senza fase su $K$ qubit. (2) Per $M = \emptyset$ e $R=[K]$, si ottiene $2^K$, che è il numero di sottoinsiemi di $[K]$. Infine, (3) per $M = [K]$ e $R = \emptyset$, si ottiene $4^K$. Nota che ciò può inizialmente sembrare sorprendente: per l'apprendimento standard, misura e reset sono tipicamente considerati con lo stesso numero di fedeltà: $2^K$. Tuttavia, qui il gate di sola misura in questo contesto è inteso non come una misura terminale, ma come una MCM, e come tale sono incluse anche le fedeltà corrispondenti a uscite della misura diverse dall'identità (come $y \neq 0$ nell'Equazione (3)).

Infine, è importante notare che qualsiasi strategia di twirling che produca la forma dell'Equazione (1) nel caso senza reset si applica altrettanto bene al caso non banale con reset con una semplice modifica. Il potenziale problema è che una tale strategia di twirling può richiedere operazioni sui qubit misurati dopo la misura. Pertanto, se un qubit è misurato e resettato, implementare la strategia sembra richiedere l'inserimento di operazioni all'interno del gate tra la misura e il reset. Tuttavia, data la natura del reset, tali operazioni non hanno alcun effetto e possono semplicemente essere omesse ottenendo comunque la stessa struttura desiderata.

3. Formalismo dei percorsi

Come descritto nell'introduzione, tutti gli algoritmi di apprendimento per rumore di tipo Pauli sui gate di Clifford si basano sul seguire come i singoli Pauli evolvono attraverso un circuito, acquisendo lungo il cammino fattori di fedeltà del rumore. I valori di aspettazione di un circuito composto da tali gate sono quindi legati semplicemente a prodotti delle fedeltà sottostanti dei singoli gate, e in questo modo i parametri del modello possono essere inferiti invertendo qualunque mappatura sparsa da parametri a fedeltà venga assunta.

In [1], nel contesto degli insiemi di gate unitari, ciò viene formalizzato nel Pattern Transfer Graph (PTG): un grafo orientato che descrive tutti i possibili esperimenti costituiti da elementi dell'insieme di gate e da strati di gate di Clifford a singolo qubit (assunti come operazioni perfette, o “gratuite”). Ciò è stato generalizzato in [5] per includere insiemi di gate con misure a metà circuito. In entrambi i casi, ogni esperimento è descritto seguendo un singolo operatore di Pauli attraverso il circuito, assumendo che a ogni punto di misura venga calcolata una particolare osservabile. Qui non rivediamo direttamente le costruzioni del grafo o dei percorsi; presentiamo tuttavia i fatti necessari per giustificarle nella nostra notazione e con i reset inclusi.

Sebbene seguire un singolo operatore di Pauli attraverso il circuito possa essere intuitivo nel caso di insiemi di gate unitari, non vale in modo altrettanto ovvio nel caso più generale Clifford-MCM-reset, a causa della natura non deterministica della misura. La seguente proposizione ripristina questo quadro anche nel caso più generale [5]:

Proposizione 1

Per ogni $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ e $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, vale che:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

In altre parole, se calcoliamo il valore di aspettazione $Z^{x + y|_M}$ sul registro classico prodotto dalla MCM, allora l'evoluzione “in rappresentazione di Heisenberg” di un'osservabile attraverso il gate Clifford-MCM-reset mappa $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Questo fatto da solo permette di recuperare un'analisi di tipo PTG oltre il caso degli insiemi di gate unitari: con una particolare post-elaborazione dei risultati di misura, anche i gate con misure e reset possono essere visti come mappe deterministiche di un operatore di Pauli in un altro.

Prima di dimostrarlo, scriviamo l'Equazione (3) in modo più suggestivo. Nota che per $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ vale $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, e quindi (in notazione di super-operatori) abbiamo:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

dove abbiamo applicato l'Equazione (3) e raccolto i termini, e usiamo il pedice $M$ per indicare il registro classico del risultato di misura, che trattiamo sopra con una notazione simile a quella dei registri quantistici.

Dimostrazione. Vale che:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Infine, osserva che $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, e quindi il termine finale sopra si riduce al singolo termine $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, ottenendo il risultato desiderato.

Vedi [5] per gli sviluppi successivi: la definizione del PTG, i percorsi attraverso il PTG e la dimostrazione che ogni percorso correttamente definito corrisponde a un esperimento.

Riferimenti

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.